《数列的应用》PPT课件(I)

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1、数列的应用解:(1)由已知a2=3a1+32-1=15+8=23;a3=3a2+33-1=69+26=95.∴a2,a3的值分别为23和95.∴6(23+)=9(5+)+95+.1.已知数列{an}中,a1=5且an=3an-1+3n-1(n=2,3,…).(1)试求a2,a3的值;(2)若存在实数使得{}为等差数列,试求的值.3nan+(2)令bn=,2b2=b1+b3,3nan+即2=+.923+35+2795+解得=-.12此时bn=.3nan-12∵bn-bn-1=-3nan-123n-1an-1-12==1,3an-1+3n-1--3an-1+1

2、2323n3nan-12∴{bn}即{}是以为首项,1为公差的等差数列.32∴的值为-.12典型例题2.已知等差数列{an}中,公差d>0,其前n项和为Sn,且满足a2a3=45,a1+a4=14.(1)求数列{an}的通项公式;(2)通过公式bn=,构造新数列{bn}.若{bn}也是等差数列,求非零常数c;Snn+c(3)求f(n)=(nN*)的最大值.bn(n+25)bn+1解:(1)∵{an}是等差数列,∴a2+a3=a1+a4=14.又∵a2a3=45,∴a2,a3是方程x2-14x+45=0的两实根.∵公差d>0,∴a2

3、=5且a1+2d=9a1=1,d=4.∴an=4n-3.(2)由(1)知:Sn=2n2-n.∴bn=.2n2-nn+c∴b1=,b2=,b3=.11+c62+c153+c∵{bn}也是等差数列,∴b1+b3=2b2,即:153+c+=2.11+c62+c解得:c=-0.5(c=0舍去).∴bn==2n.2n2-nn-0.5易知{bn}是等差数列,∴c=-0.5.解:(3)由(2)知bn+1=2n+2,∴f(n)==bn(n+25)bn+12n(n+25)(2n+2)nn2+26n+25=1n++26=n25≤=.125+26361n25仅当n=即n=5时上式取等号.361

4、故当n=5时,f(n)取最小值.2.已知等差数列{an}中,公差d>0,其前n项和为Sn,且满足a2a3=45,a1+a4=14.(1)求数列{an}的通项公式;(2)通过公式bn=,构造新数列{bn}.若{bn}也是等差数列,求非零常数c;Snn+c(3)求f(n)=(nN*)的最大值.bn(n+25)bn+1解:(1)∵an+2-2an+1+an=0(nN*),∴an+2+an=2an+1(nN*).∴数列{an}是等差数列.设其公差为d,则由已知得:8+3d=2.∴d=-2.3.数列{an}中,a1=8,a4=2,且满足an+2-2an+1+an=0(nN*).

5、(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=(nN*),Sn=b1+b2+…+bn,是否存在最大的整数m,使得对任意的n均有Sn>总成立?若存在,求出m,若不存在;请说明理由.n(12-an)132m∴an=-2n+10.∴Sn=b1+b1+…+bn(2)由(1)及已知得bn==(-).2n(n+1)112n1n+11=[(1-)+(-)+…+(-)]12131212n1n+11=12(1-)n+112(n+1)n=.依题意小于的最小值即可.32m2(n+1)n而当n=1时有最小值,2(n+1)n14∴<.1432m∴m<8.∴存在满足条件的最大整数m,其值为7.4.如图,△

6、ABC的三个顶点坐标分别为(0,0),(1,0),(0,2),设P1为线段BC的中点,P2为线段CO的中点,P3为线段OP1的中点,对于每一个正整数n,Pn+3为线段PnPn+1的中点,令Pn的坐标为(xn,yn),an=+yn+1+yn+2.P5P1P2P3P4P62yn(1)求a1,a2,a3及an;(2)证明:yn+4=1-,nN*;(3)若记bn=y4n+4-y4n,nN*,证明:{bn}是等比数列.4yn(1)解:显然y1=y2=y4=1,y3=,y5=.3412∵an=+yn+1+yn+2,2yn∴可求得a1=a2=a3=2.又yn+3=(yn+yn+1),12∴

7、an+1=yn+1+yn+2+yn+312=yn+1+yn+2+(yn+yn+1)1212=yn+yn+1+yn+2=an.12∴{an}为常数列,∴an=a1=2,nN*.故a1,a2,a3及an的值均为2.(2)证:将等式yn+yn+1+yn+2=2两边同除以2,得:12yn+(yn+1+yn+2)=1.1412又yn+4=(yn+1+yn+2),12∴yn+4=1-.4yny4ny4n+4(3)证:∵bn+1=y4n+8-y4n+4=(1-)-(1-)=-(y4n+4-y