高数大一下期末试卷

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1、一、选择题（每小题4分，共16分）1、设，则（）(A)(B)(C)(D)2、若级数和都发散，则下列级数中必发散的是（）(A)(B)(C)(D)3、若在处收敛，则此级数在处（）(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)收敛性不能确定4、计算，其中为曲面及平面所围成的立体，则正确的解法为（）(A)(B)(C)(D)二、填空题（每小题4分，共24分）1、设是由球面所围成的闭区域，则。2、设曲线：，则。3、设为上半圆周及轴所围成的区域的整个边界，沿逆时针方向，则。4、设是平面在第一卦限的部分，则。5、函数在处

2、的幂级数展开式为，其收敛域为。6、设，，其中，则在上。三、解答题（分A、B类题，A类题每小题10分，共60分；B类题每小题8分，共48分）每道题必须且只需选做一道题，或做A类，或做B类，不必A、B类题都做1、(A类)计算，其中分别为　（１）圆周，沿逆时针方向；8　（２）圆周，沿逆时针方向。　　(Ｂ类)计算，其中为上半圆周沿逆时针方向。（常数）2、(A类)计算，其中是球面。　(Ｂ类)计算，其中为锥面及平面所围成的区域的整个边界曲面。3、(A类)计算，其中是抛物面的上侧。(Ｂ类)计算，其中是锥面的下侧。4、

3、(A类)设为等差数列，试求：（1）幂级数的收敛半径；（2）数项级数的和。　　(Ｂ类)求幂级数的收敛域以及和函数；5、(A类)判断级数的收敛性，是绝对收敛还是条件收敛？(Ｂ类)判断级数的收敛性，是绝对收敛还是条件收敛？6、(A类)将函数展开成以2为周期的余弦级数，并求的和。(B类)将函数展开成以为周期的余弦级数。附加题（10分）（选做题）设函数在内具有一阶连续导数，是上半平面内的有向分段光滑曲线,起点为,终点为,当时,求8一、DDAB二、1．，2．3．4．５．；　　　６．三．1．（A类）解：记则。（1）设

4、是由所围成的闭区域。因奇点，所以由格林公式，得。（2）设是由所围成的闭区域。选取一正数，则是位于内的圆周(取逆时针方向)。记和所围成的闭区域为，，从而由格林公式，得，故。（B类）解：补上曲线，记和所围成的闭区域为。由格林公式，得2．（A类）解：利用对称性和曲面方程，得（B类）解：设，；，，其中8。则3．（A类）解：作辅助面，取下侧。记和所围成的空间闭区域为，则（B类）解：作辅助面，取上侧。记和所围成的空间闭区域为，则4．（A类）解：（1）依题意，，其中为公差。从而8，故幂级数的收敛半径为1。（2）解法一

5、：设，则，因而。解法二：设，由，得故，求得，因而。（B类）解：幂级数的收敛半径为，当时，此时幂级数为收敛，从而其收敛域为。设，则当，时8又根据和函数在收敛域的连续性，得，，。故。5．（A类）解：令，，则当时，，因此对，单调递增且。对级数来说，，说明它是交错级数。又且，由莱布尼兹判别法知，该级数收敛。另外，因故这说明级数是发散的。综上所述，级数是条件收敛的。（B类）对级数，因（），说明它是交错级数。当时，，且，由莱布尼兹判别法知，该级数收敛。另外，因这说明对级数，它是发散的。综上所述，级数是条件收敛的。5

6、．（A类）解：对函数偶周期延拓，先求延拓后函数的傅里叶级数：8；；得因延拓后的函数在是连续的，从而最后求级数：由，得。又，得。（B类）对函数偶周期延拓，先求延拓后函数的傅里叶级数：；得。因延拓后的函数在是连续的，从而附加题．解：记，，则8，所以，这说明曲线积分在上半平面内与积分路径无关，只与起止点有关。取，，则注：另外，也可取路径，，则=8