高数考研大一下下.ppt

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1、第三讲重积分的计算法及其应用1.重积分计算的基本方法一.方法指导累次积分法逐次积分混合积分先一后二(穿针法)先二后一(切片法)二次积分三次积分（包括5-1，5-2，5-5部分）1具体注意以下几点•画出积分域•选择坐标系•确定积分序•写出积分限域边界应尽量多为坐标轴或面被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式(由内到外:面,线,点)22.重积分计算的主要技巧(1)消去绝对值符号分区域积分利用对称性(2)利用对称性简化计算选取坐标系时要考虑对称性被积函数和积分域的对称性要匹配添加辅助线或面，化区域为对称利用形心公式简化计算(3)重积分的换元积分法伸缩系

2、数3二重积分的换元公式若,且则最常用的换元公式极坐标变换广义极坐标变换4三重积分的换元公式(P309)若且则其中5柱坐标变换最常用的换元公式球坐标变换广义球坐标变换63.重积分的应用(1)解决的问题:分布在平面域或空间域上具有可加性(2)解决的方法:微元分析法求微分表达式求积分表达式(3)主要应用问题:几何方面:面积,体积,形心物理方面:质量,转动惯量,质心,引力二.实例分析二重积分部分的整体量7附：将化成极坐标下的二次积分。8附：将化成极坐标下的二次积分。93.附：将化成极坐标下的二次积分。10例1.计算其中(P281例3)解:11例2.计算二次积分解:作积分域如图.选用

3、极坐标系(P282例5(2))12例3计算解：求曲线的交点13例4计算(2)D由直线y=x,y=–1及x=1围成.(P286例7)解:(1)利用对称性,有(2)利用对称性,有添加辅助线分为14例5.计算二重积分解:其中利用对称性分区域D为(如图),则用形心公式15例6.计算，其中解法一：16例6.计算，其中解法2令17练习:(P467例4)18练习、区域D由曲线围成，（       ）；，故选择A、B、C、D、2012考研解19例7设D由xoy平面上以点为顶点的三角形区域，D1是D的第一象限部分，则(P486例2)()20例8解:计算(10年考研)21例9.设为连续函数，则(考研2

4、001)22例10设表示不超过的最大整数，计算解法1记则有于是(考研2008)23例10.设(考研2008)表示不超过的最大整数，计算解法224例11.解：因为已知函数具有二阶连续偏导数，且其中，计算。所以从而(2011考研)25例12计算，其中区域D为曲线与极轴围成。2012考研解26练习、计算，其中D由曲线与及y轴所围成。2012考研解27例13设连续，则二次积分（       ）；解作图，得y的下界为,得y的上界为故排除将极坐标下的二重积分化为直角坐标系下的，故选择得被积函数为A、B、C、D、2012考研D二重积分，28例14求其中(P294例14)解:令,则域D的原像为29

5、例15求其中D由曲线与x,y轴所围区域.解:令则积分区域D的原像为30例16求其中D为直线x+y=2与坐标轴所围区域.(P292例12)解:令则积分区域D的原像为31例17.证明:(P288例10(2))证:由左边积分式作积分域如图,交换积分顺序,得左边==右边32例18.设证法1.利用变限积分.则令左边==右边证明33例18.设证明证法2.左端同时改变积分变量的字母∴左端==右端(考研95)34例18.设证明证法3.利用轮换对称性.即故左边==右边35设且求证例19因为连续，故设，所以36练习.设，求证：证：令，则原式=又所以，原式=37例20.证明:其中解:又D的面积为1故有技

6、巧:利用题中x,y位置的对称性38例21.设说明:1)其它证法参考L.P291方法2,方法3;提示:利用在[a,b]上连续,证明柯西不等式(L.P290例11)它关于t的二次三项式判别式即392)特别当时,有例21.设在[a,b]上连续,证明柯西不等式40例22计算因为所以10年考研41例1.计算其中由锥面与平面z=1所围成.(P300例1)解:用“先二后一”计算.设说明:此题也可用“三次积分”或“先一后二”计算.三重积分部分42例2.计算解:在球坐标系下,与平面z=1所围成.其中由锥面即43例3设是二球域及的公共部分,计算(P368题5(3))提示:由于被积函数缺x,y,利

7、用“先二后一”计算方便.44例3.计算积分其中是两个球(R>0)的公共部分.解:原式=45例4.计算其中解:利用对称性和积分域的特点,用“先二后一”方法(P303例5)46例5.计算其中围成.(P304例6)解:利用对称性47例6.计算其中围成.(P305例7)解:作辅助曲面将分成上下两部分:则由与48例7设求提示:利用球坐标.49例8.计算(P310例12)解:利用球坐标系,积分域为50例9.计算(P309例11)解:积分域为平面x+y+z=1与三个坐标面所围四