线性代数综合测试3

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1、中国地质大学(武汉)远程与继续教育学院线性代数课程综合测试3学习层次：专升本时间：90分钟一、填空题(每小题4分，共24分)1．四阶行列式中含因子，取负号的项为。解：由行列式定义可知：含因子的项只能是与，而列脚标1342的逆序数为2取正号，故正确答案是。2．均为阶方阵，，则=。解：由于：。3．，则=。解：由于。4．若某向量组中含有零向量，则该向量组线性相关。解：向量组线性相关性的几条充分条件之一：含零向量的向量组必相关。5．设6阶方阵的秩为5，是非齐次线性方程组的两个不相等的解，则的通解为。解：由于，所以的基础解系只含一个向量：，故有上通解。6．若矩阵A=与B=相似，

2、则x=０，y=１。解：相似矩阵有相同的特征根，再由特征根性质可得。二、单项选择题(每小题4分，共24分)7．设A、B为n阶方阵，且，则为对称矩阵的是D。A．B．C．D．解：直接用矩阵的转置验算：。8．下列矩阵中哪个矩阵是初等矩阵D。A．B．C．D．解：对单位矩阵只作一次初等变换的矩阵叫初等矩阵，可见只有D成立。9．设为阶方阵，满足关系，则必有　C。A．B．C．或D．解：因为，可推出或。10．若阶方阵不可逆，则必有B。A.B.0为的特征值C.秩()=D.=解：可逆；秩()=可逆；不可逆，不代表=；故选B：0为的特征值11．设A=（aij）mxn，若m

3、的行向量组线性相关　B．A的列向量组线性相关C．　A的行向量组无关　D．A的列向量组无关解：定理：行向量组、列向量组、矩阵：三秩相等。因为m

4、解：矩阵与对角矩阵相似的充分必要定理保证。三、计算题(每小题7分，共42分)15．设与均为3阶方阵，为3阶单位矩阵，，且；求。解：因为AB+E=A2+B，可逆所以。16．满足什么条件时，方程组有唯一解，无解，有无穷多解？解：当且时，方程组有惟一解。当时方程组无解。当时方程组当时这时方程组只有零解。当时，这时方程组有无穷多解。17．设有向量组，计算该向量组的秩，写出一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。解:,所以,，为的一个极大无关组；。18．设矩阵的一个特征值为3，求。解：19．当为何值时，为正定二次型？解：解不等式：。四、证明题(每小题5分，共10分)

5、20．设A为n阶方阵且，证明：。证明:因为,所以。