线性代数综合测试3

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1、中国地质大学(武汉)远程与继续教育学院线性代数课程综合测试3学习层次:专升本时间:90分钟一、填空题(每小题4分,共24分)1.四阶行列式中含因子,取负号的项为。解:由行列式定义可知:含因子的项只能是与,而列脚标1342的逆序数为2取正号,故正确答案是。2.均为阶方阵,,则=。解:由于:。3.,则=。解:由于。4.若某向量组中含有零向量,则该向量组线性相关。解:向量组线性相关性的几条充分条件之一:含零向量的向量组必相关。5.设6阶方阵的秩为5,是非齐次线性方程组的两个不相等的解,则的通解为。解:由于,所以的基础解系只含一个向量:,故有上通解。6.若矩阵A=与B=相似,

2、则x=0,y=1。解:相似矩阵有相同的特征根,再由特征根性质可得。二、单项选择题(每小题4分,共24分)7.设A、B为n阶方阵,且,则为对称矩阵的是D。A.B.C.D.解:直接用矩阵的转置验算:。8.下列矩阵中哪个矩阵是初等矩阵D。A.B.C.D.解:对单位矩阵只作一次初等变换的矩阵叫初等矩阵,可见只有D成立。9.设为阶方阵,满足关系,则必有 C。A.B.C.或D.解:因为,可推出或。10.若阶方阵不可逆,则必有B。A.B.0为的特征值C.秩()=D.=解:可逆;秩()=可逆;不可逆,不代表=;故选B:0为的特征值11.设A=(aij)mxn,若m

3、的行向量组线性相关 B.A的列向量组线性相关C. A的行向量组无关 D.A的列向量组无关解:定理:行向量组、列向量组、矩阵:三秩相等。因为m

4、解:矩阵与对角矩阵相似的充分必要定理保证。三、计算题(每小题7分,共42分)15.设与均为3阶方阵,为3阶单位矩阵,,且;求。解:因为AB+E=A2+B,可逆所以。16.满足什么条件时,方程组有唯一解,无解,有无穷多解?解:当且时,方程组有惟一解。当时方程组无解。当时方程组当时这时方程组只有零解。当时,这时方程组有无穷多解。17.设有向量组,计算该向量组的秩,写出一个极大无关组,并将其余向量用该极大无关组线性表示。解:,所以,,为的一个极大无关组;。18.设矩阵的一个特征值为3,求。解:19.当为何值时,为正定二次型?解:解不等式:。四、证明题(每小题5分,共10分)

5、20.设A为n阶方阵且,证明:。证明:因为,所以。

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