线代期中考试卷及答案详解

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1、2012《线性代数》期中考试试卷及答案详解一、单项选择题(每小题4分，共20分)1.下列各式中，哪个是5阶行列式det(aij)的项×××××××××××××××××××××(B)(A)(B)(C)(D)解根据n阶行列式的定义，行列式的算式中，每一项都是不同行、不同列的n个数的乘积，并且带有符号：(1)若行标排列是标准排列，则该项的符号取决于列标排列的逆序数的奇偶性；(2)若列标排列是标准排列，则符号取决于行标排列的逆序数的奇偶性；(3)若行标、列标排列都不是标准排列，则符号取决于行标排列与列标排列

2、的逆序数之和的奇偶性(或者，交换一般项中的元素，使行标成为标准排列，再根据列标排列的逆序数判断).题中每个选项都是5阶行列式不同行、不同列的5个数的乘积，因此，需进一步判断各项是否带有正确的符号.选项(A)错误。其行标排列是标准排列，列标排列的逆序数为t(23415)=3,故，列标排列为奇排列，(或者，由于将列标排列23415变成标准排列12345需要进行奇数次对换，也可得23415为奇排列)。所以选项(A)缺少“-”.选项(B)正确。其行标和列标排列都不是标准排列，方法一：行标排列和列标排列的逆序

3、数之和t(31452)+t(35214)=4+6=10，得符号为“+”；方法二，交换相乘的元素，使行标成为标准排列，得a15a24a33a42a51，此时列标排列54321为偶排列，故取“+”.同理，选项(C)和(D)错误，都应带“-”.2.已知n阶行列式D=1，将D逆时针旋转90o，得行列式，则的值为××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××(C)(A)1(B)-1(C)(

4、-1)n(n-1)/2(D)(-1)n/2解将D逆时针旋转90o，相当于对D先作转置(这不会改变行列式的值)，再作上下翻转[即交换n(n-1)/2次相邻行的位置，每次交换都改变行列式的符号]，因此，应选(C).参见“行列式的性质”布置的思考题，或者教材习题一第7题的解答.3.n阶行列式Dn=0的必要条件是××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××(D)(A)有一行(列)元素全为零(B)有两行(列)元素对应成比例(C)各列元素之和皆为零(D)以Dn为系数行

5、列式的齐次线性方程组有非零解解选项(A)(B)(C)都是Dn=0的充分条件(但不是必要条件).只有选项(D)为充分必要条件.4.已知A,B均为n阶方阵，E是n阶单位矩阵，则下列命题中正确的是××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××(D)(A)若A¹B，则½A½¹½B½(B)若(A-E)(B-E)=O，则A=E或B=E(C)A2-B2=(A+B)(A-B)(D)A2-E=(A

6、+E)(A-E)解答案为(D).选项(A)错误，反例：,选项(B)错误。“两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵”，例如，因此，(A-E)(B-E)=OÞA-E=O或B-E=O，反例：,选项(C)错误。因为(A+B)(A-B)=A2-AB+BA-B2，所以，当且仅当A,B可交换时，才会有(A+B)(A-B)=A2-B2.选项(D)正确。因为AE=EA=A，即A,E可交换，所以，(A+E)(A-E)=A2-AE+EA-E2=A2-E.5.设A,B均为n阶可逆矩阵，则下列命题中正确的是××××××××××(A)

7、(A)(A2)-1=(A-1)2(B)(kA)-1=kA-1(k¹0)(C)(A+B)-1=A-1+B-1(D)A-1BA=B解选项(A)正确。根据方阵的幂的定义以及可逆矩阵的运算性质，有(A2)-1=(AA)-1=A-1A-1=(A-1)2选项(B)错误。应该是(kA)-1=k-1A-1(k¹0)选项(C)错误。A,B均为n阶可逆矩阵时，A+B不一定可逆；即使A+B可逆，(A+B)-1也不一定是A-1+B-1。反例：,，或者,选项(D)错误。矩阵乘法一般不满足交换律，故A-1BA¹A-1AB=B。

8、二、填空题(每小题4分，共20分)1.行列式=2013！.解=注：以上计算过程使用了分块法计算行列式的公式：(注意A,B必须是方阵)以及副对角行列式的计算公式2.行列式=(-1)n-1(n-1).解=(-1)n-1(n-1)注：本题行列式的特点是：各行(列)元素之和都相等.3.=解用左乘矩阵A，相当于将A的各行向上移动一行，故=另外，用右乘矩阵A，相当于将A左右翻转，故=注：参见“矩阵的运算”所布置的思考题，或者第二章习题讲义“要点和公式”中的PartII“一些特殊