等差概念及基本运算

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1、新课标高中一轮总复习第五单元数列、推理与证明第31讲等差的概念及基本运算1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系.1.已知数列{an}，那么“对任意的n∈N*，点P(n,an)都在直线y=-x+2上”是“数列{an}为等差数列”的()BA.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件当通项为an=-n+2时，可推出数列{an}为等差数列，反之不成立，故为充分不必

2、要条件.2.(2010·苏州模拟)在数列{an}中，若a1=1，a2=，=+(n∈N*),则该数列的通项为.an=由=+(n∈N*)知，{}为等差数列,且首项=1,公差d=-=1,所以=+(n-1)d=n，所以an=.3.（2010·长沙市一中）{an}为等差数列，且a7-2a4=-1,a3=0,则公差d=.-a7-2a4=-1，得a3+4d-2(a3+d)=-1，即2d-a3=-1，又a3=0，则d=-.4.在数列{an}中，an=2n-，a1+a2+a3+…+an=an2+bn，n∈N*，其中a、b为常数，则1

3、000a+10102b=.2010因为an=2n-，所以{an}是首项为a1=，d=2的等差数列，所以Sn=na1+d=n2+n=an2+bn,所以a=1，b=,所以1000a+10102b=2010.5.在数列{an}中,a1=15,3an+1=3an-2(n∈N*),则该数列中乘积为负值的相邻两项是,前项和取得最大值.第23项、第24项23由已知得an+1-an=-，a1=15，所以an=a1+(n-1)d=,显然，a23>0，a24<0，数列a1>a2>a3>…>a23>0>a24>…,所以前23项和取得最大

4、值.等差数列(1)等差数列定义①.(n∈N*),这是证明一个数列是等差数列的依据，要防止仅由前若干项，如a3-a2=a2-a1=d(常数),就说{an}是等差数列这样的错误，判断一个数列是否是等差数列,还可由an+an+2=2an+1,即an+2-an+1=an+1-an来判断.an+1-an=d(常数)(2)等差数列的通项为②.可整理成an=nd+(a1-d),当d≠0时，an是关于n的一次式，它的图象是一条直线上n为自然数的点的集合.(3)对于A是a、b的等差中项，可以表示成③.(4)等差数列的前n项和公式Sn

5、=④=⑤,可以整理成Sn=n2+(a1-)n,当d≠0时,Sn的一个常数项为0的二次式.an=a1+(n-1)d2A=a+bna1+d题型一等差数列的判定与通项公式例1已知数列{an}满足an=2an-1+2n-1(n≥2),且a4=81.(1)求数列的前三项a1,a2,a3;(2)求证:数列{}为等差数列,并求通项an.(1)由题意，得n=4时，a4=2a3+24-1=81，解得a3=33；同理，a3=2a2+23-1=33，解得a2=13；a2=2a1+22-1=13，解得a1=5.所以前三项a1=5,a2=1

6、3,a3=33.(2)因为an=2an-1+2n-1，即an-1=2(an-1-1)+2n,两边同除以2n,得=+1.令=cn，即cn=cn-1+1，即{cn}是以c1为首项,以1为公差的等差数列.所以数列{}是以=2为首项，以1为公差的等差数列,所以=2+(n-1)×1=n+1，即an=(n+1)×2n+1.证明一个数列为等差数列的基本方法有两种：（1）利用等差数列的定义证明，即证an+1-an=d(n∈N*)；（2）利用等差中项证明,即证2an=an+k+an-k(n,k∈N*,n>k)；有时根据an=an+b

7、，Sn=an2+bn(a,b为常数）也可判定为等差数列.在选择方法时，要根据题目的特点，如果能求出数列的通项，常用定义法.题型二等差数列的基本运算及最值例2在等差数列{an}中,a16+a17+a18=a9=-36,其前n项的和为Sn.(1)求Sn的最小值，并求出Sn取最小值时n的值；(2)求Tn=

8、a1

9、+

10、a2

11、+…+

12、an

13、.a16+a17+a18=3a17=-36a17=-12.又a9=-36,所以公差d==3.首项a1=a9-8d=-60,所以an=3n-63.(1)(方法一)设前n项的和Sn最小,an

14、≤03n-63≤0an+1≥0,n∈N*,3(n+1)-63≥0,n∈N*n=20或21.所以当n=20或21时，Sn取最小值，最小值为S20=S21=-630.则即(方法二)Sn=-60n+×3=(n2-41n)=(n-)2-×.因为n∈N*,所以当n=20或21时，Sn取最小值，最小值为S20=S21=-630.(2)由an=3n-63≤0n≤21,