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1、平均变化率7/18/2021修远中学梁成阳你能列举出生活中一些变化的例子吗？随着气球内空气容量增加，气球半径如何变化？某市2008年4月20日最高气温为33.4℃，而4月19日和4月18日的最高气温分别为24.4℃和18.6℃，短短两天时间，气温陡增14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”(一)、问题情境1、情境：时间4月18日4月19日4月20日日最高气温18.6℃24.4℃33.4℃t(d)2030342102030A(1,3.5)B(32,18.6)0C(34,33.4)T(℃)210（注：3月18日为第一天）该市2007年3月18日到4月18日的日最高
2、气温变化曲线:问题2：分别计算AB、BC段温差问题1：你能说出A、B、C三点的坐标所表示意义吗？15.10C14.80C结论：气温差不能反映气温变化的快慢程度t(d)2030342102030A(1,3.5)B(32,18.6)0C(34,33.4)T(℃)210问题3：如何“量化”（数学化）曲线上升的陡峭程度？（注：3月18日为第一天）问题3：曲线AB、BC段几乎成了“直线”，由此联想如何量化直线的倾斜程度？t(d)2030342102030A(1,3.5)B(32,18.6)0C(34,33.4)T(℃)210(1)连结BC两点的直线斜率为kBC=t(d)2030342
3、102030A(1,3.5)B(32,18.6)0C(34,33.4)T(℃)210(2)由此联想用比值近似地量化BC这一段曲线的陡峭程度，并称该比值为气温在[32，34]上的平均变化率。(3)分别计算气温在区间[1，32][32，34]的平均变化率0.57.4t(d)2030342102030A(1,3.5)B(32,18.6)0C(34,33.4)T(℃)210(2)“气温陡增”它的数学意义是什么？（形与数两方面）(1)如何“量化”（数学化）曲线上升的陡峭程度？回答问题：一般地,函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为：二、建构数学t(d)20303421020
4、30A(1,3.5)B(32,18.6)0C(34,33.4)T(℃)210曲线的陡峭程度是平均变化率的“视觉化”(1)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，(2)用平均变化率量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的”，但应注意当x2—x1很小时，这种量化便由“粗糙”逼近“精确”。说明：例1、某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率；由此你能得到什么结论？T(月)W(kg)639123.56.58.611结论：该婴儿从出生到第3个月体重增加的速度比第6个月到第12个月体重增加的速度要快(1)1kg/月(
5、2)0.4kg/月变式：甲、乙两人跑步，路程与时间关系如图1及百米赛跑路程与时间关系分别如图2所示，试问：（1）在这一段时间内甲、乙两人哪一个跑的较快？（2）甲、乙两人百米赛跑，问快到终点时，谁跑的较快？图1图2例2、水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，ts后容器甲中水的体积（单位：）计算第一个10s内V的平均变化率。甲乙解:在区间[0,10]上，体积V的平均变化率为注：负号表示容器甲中水在减少变式1：一底面半径为rcm，高为hcm的倒立圆锥容器，若以ncm3/s的速率向容器里注水，求注水前ts容器里水的体积的平均变化率.解：设注水ts时，容器里水的体积Vcm3由此可见当t越
6、来越大时，容器里水的体积的平均变化率保持不变。在[0,t]内容器里水的体积的平均变化率为:由题意知V=nt变式2：一底面半径为rcm，高为hcm的倒立圆锥容器，若以ncm3/s的速率向容器里注水，求注水时前ts水面上升的平均速率.解：设注水ts时，水面高度为ycm，此时水面半径为xcm可见当t越来越大时，水面上升的平均速率将越来越小在[0,t]内水面上升的平均速率为:例3、已知函数，分别计算在下列区间上的平均变化率：（1）[1，3]；（3）[1，1.1]；（2）[1，2]；（4）[1，1.001]。(1)函数f(x)在[1,3]上的平均变化率为4(2)函数f(x)在[1,2
7、]上的平均变化率为3(3)函数f(x)在[1,1.1]上的平均变化率为2.1(4)函数f(x)在[1,1.001]上的平均变化率为2.001xy13问题(1)求函数在[1,a](a>1)上的平均变化率；例3引申：已知函数(1)函数在[1,a](a>1)上的平均变化率为a+1(2)当a趋近于1时，函数在[1,a]上的平均变化率趋近于2问题(2)当a趋近于1时，函数在[1,a]上的平均变化率有何趋势？D求函数y=f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率的步骤：1、在经营某商品中，甲挣到10万元，乙挣到2万元，你能说甲
