数学归纳法教案（张晓斌）

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1、《数学归纳法及应用举例》第一课教学设计重庆市教育科学研究院张晓斌教学目标：一、知识目标1．了解归纳法的意义.2．理解数学归纳法的实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤，初步会用数学归纳法证明有关正整数的命题.二、能力目标1．通过探索关于正整数命题的证明方法的过程，让学生体验严密的逻辑推理的数学思想.2．学生经历对问题的探究过程，让学生感知科学的研究方法，并培养学生提出问题、思考问题、分析问题、解决问题的能力.三、情感目标1．在学生经历问题的探究过程中，激励学生的好奇心和求知欲.2．在教学中，通过师生、学生之间的平等交流，使学生感受民主的氛围和团结合作的精神.教学重难点

2、：一、重点1．初步理解数学归纳法的原理.2．初步会用数学归纳法证明简单的数学命题.二、难点1．对数学归纳法原理的理解.2．为何要利用假设证明n=k+1时命题正确.教学过程：一、创设情景师：同学们，我们先一起来分析三个问题情景：情景一：从麻布口袋里（无放回）逐一摸球.师演示：摸出第一个球，红色；第二个球，红色；第三个球，红色；第四个球，红色.师：根据这四个特殊事例，你能得出什么猜想？生甲：全为红色.生乙：不一定.师演示：摸出一个白色球.师：说明由有限个特殊事例归纳出的结论不一定正确.情景二：给出一个数列的通项公式.板书：an=(n2-5n+5)2.学生分组计算：a1

3、,a2,a3,a4.师：请同学们猜想an=?(n∈N*).生齐答：an=1.师生一起计算：a5=25，否定结论.情景三师：请同学们回忆等差数列通项公式是如何推导的？生：根据前四项的规律，归纳出来的.板书：观察等差数列的前几项：6你发现了什么规律？试用、和表示.生：an=a1+（n-1）d(n∈N*).师：以上三个情景说明一个什么问题？（师生共同观察、分析、讨论）生甲：结论有的正确，有的不正确.生乙：都是由几个事例得出的结论，有的正确，有的不正确.师：还有什么补充？生丙：这些问题与自然数有关.生丁：这种由有限个事例推出一般结论的方法不能作为证明方法.师：象这样由有限

4、多个特殊事例归纳出一般结论的方法叫归纳法（板书归纳法），得出的结论不一定正确,也不能作为论证方法.师：用归纳法可以帮助我们从特殊事例中发现一般规律，但得出的一般结论并不一定可靠.再如法国著名数学家费尔马曾由得到均为质数而推测：为自然数时，都是质数，但这一结论是错误的.因为瑞士大数学家欧拉发现，时，是一个合数：.师：既然由归纳法得到的结论不一定可靠，那么，就必须想办法对所得到的结论进行证明.对于由归纳法得出的某些与正整数有关的命题，能否通过一一验证的办法来加以证明呢？生：不能.因为这类命题中所涉及的正整数有无限多个，所以无法一个一个加以验证.二、探索发现师：前面学习

5、的等差数列通项公式也是由有限个特殊事例归纳出来的，也可能不正确.一旦错误，我们已经建立的数学大厦必将倒塌，必须对它进行抢救性证明.如何证明这类有关正整数的命题呢？生甲：一一列出各项.生乙：不可能全部列出.师：人精力有限，不可能也不必要一一列出各项,我们一起来探索新的证明方法.我们将采用递推的办法解决这个问题.同学们在电视中可能看到过“多米诺”骨牌的游戏，由于骨牌之间特殊的排列方法，只要推到第一块骨牌，第二块就会自己倒下，接着第三块就会倒下，第四块也会倒下，……如此传递下去，所有的骨牌都会倒下.这种传递相推的方法，就是递推.师：要使n块多米诺骨牌全体依次倒下，须满足

6、什么条件？生甲：摆放距离要恰当.6生乙：牌的大小、重量要合适.师：我们只研究数学方面的条件，应找出数学模型.生丙：第一块倒下，后面接着倒下.师：总结同学的发言，需要条件如下：（1）第一块要倒下.（2）当前面一块倒下时，后面一块必须倒下.再如：前面从一个袋子里第一次摸出的是一个红球，接着，如果我们有这样的一个保证：“当你这一次摸出的是红球，则下一次摸出的一定也是红球”，能否断定这个袋子里装的全是红球？生：能断定.师：类似地，证明一个关于正整数n的命题需要证明哪几条？（通过学生充分探索、讨论3分钟）生甲：第一条，n=1时，命题成立；第二条，n取前面一个值成立时，n取后

7、面一个值也成立.师：关于一个正整数n的命题，n一定可以取1吗？生乙：不一定，如多边形内角和定理.师：所以第一条是n取第一个值n0时，命题正确.师：如何用数学语言来刻画n取前面一个值命题成立时，n取后面一个值也成立呢？生丙：n=1命题成立时，n=2命题也成立；n=2命题成立时，n=3命题也成立.以此类推.生丁：证明不完，前面一个n值用一个字母表示.师：对.就用k表示吧.生丁：若当n=k时，命题成立，则n=k+1命题也成立.师：归纳同学们的意见，总结如下：板书：第一条：证明当n取第一个值n0（如n0=1或2等）时，命题成立.第二条：假设当n=k（k∈N*，且k≥n0，

8、）时命题成