高考复习-函数的单调性

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1、第三节　函数的单调性最新考纲1.了解函数单调性的概念．2．掌握判断一些简单函数单调性的方法，并能利用函数的单调性解决一些问题．高考热点1.求函数的单调区间或判断函数在某个区间内的单调性．2．给出一个含有字母参数的函数在某个区间内的单调性，求参数的取值范围．3．函数的单调性与函数最值的综合问题.函数的单调性(1)增函数、减函数、单调区间的概念①单调性是一个“区间”概念，一般谈到函数的单调性时，必须指明．②函数的单调性只能在定义域内讨论，即单调区间是定义域的．③函数f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数f(x)在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整

2、体性质．区间子集(2)证明函数单调性的一般方法与步骤①设x1，x2是给定区间上的任意两个自变量的值，且x1＜x2.②作差f(x1)－f(x2)，并将差式变形．③判断f(x1)－f(x2)的正负，从而证得函数的单调性．(3)函数单调性的判定方法①利用：即“取值—作差—变形—定号—判断”．②利用已知函数的，将函数转化为已知函数的单调性进行判断．定义单调性③利用函数的：图象从左到右逐渐上升，则函数在其区间上为增函数；图象从左向右逐渐下降，则函数在其区间上为减函数．(4)函数单调性的应用单调性是函数的重要性质，它在研究函数时具有重要作用，具体体现在：①利用单调

3、性比较．②确定函数的或求函数的．(5)函数的单调性与导数函数单调性的判断、求单调区间等也可以通过求导函数的方法求得．图象大小最值值域[分析]先判断单调性，再用单调性的定义证明．(1)采用通分进行变形；(2)采用因式分解进行变形；(3)采用分子有理化的方式进行变形．题型一函数单调性的判断与证明问题思维提示①定义法：设x1＜x2，判断f(x1)－f(x2)的符号②导数法[规律总结]对于给出具体解析式的函数，判断或证明其在某区间上的单调性问题，可以结合定义(基本步骤为取点、作差或作商、变形、判断)求解．可导函数则可以利用导数解之.备选例题1判断函数f(x)＝

4、在区间(－1,1)上的单调性．题型二求函数的单调区间思维提示①利用定义②利用导数[分析](1)利用单调性的定义求解；(2)利用导数求函数的单调区间．[规律总结](1)用定义法判断函数单调性的关键在于比较f(x1)和f(x2)的大小，一般的方法是作差、因式分解，出现几个因式乘积，从而便于判断符号．(2)利用导数求函数f(x)的单调区间，关键在于正确求出导函数f′(x)大于0或小于0的解集.备选例题2讨论函数的单调性．例3求下列函数的单调区间，并指出其增减性．[解](1)令t＝1－x2，则t＝1－x2的递减区间是[0，＋∞)，递增区间是(－∞，0]．又当a

5、＞1时，y＝at在(－∞，＋∞)上是增函数；当0＜a＜1时，y＝at在(－∞，＋∞)上是减函数．题型三求复合函数的单调区间思维提示①将复合函数拆分②“同增异减”[规律总结]复合函数y＝f[g(x)]的单调规律是“同则增，异则减”，即f(u)与g(x)若具有相同的单调性，则f[g(x)]为增函数，若具有不同的单调性，则f[g(x)]必为减函数．讨论复合函数单调性的步骤是：①求出复合函数的定义域；②把复合函数分解成若干个常见的基本函数，并判定其单调性；③把中间变量的变化范围转化成自变量的变化范围；④根据上述复合函数的单调性规律判定其单调性.题型四函数单调性

6、的应用思维提示利用单调性建立相关不等式[分析](1)的求解是容易的；对于(2)，应利用函数单调性的定义来证明，其中应注意f(x·y)＝f(x)＋f(y)的应用；对于(3)，应利用(2)中所得的结果及f(x·y)＝f(x)＋f(y)进行适当配凑，将所给不等式化为f[g(x)]≥f(a)的形式，再利用f(x)的单调性来求解．[规律总结]求解与抽象函数有关的不等式问题，主要依据函数的单调性，其中要把不等式中出现的常数转化为某自变量的函数值，把不等式两边都化为同一自变量的函数值的形式，然后根据单调性得到自变量应满足的不等式再进行求解.备选例题4已知函数f(x)

7、满足：对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)·f(y)－f(x)－f(y)＋2成立，且x＞0时，f(x)＞2.(1)求f(0)的值，并证明：当x＜0时，1＜f(x)＜2；(2)判断f(x)的单调性并加以证明；(3)若函数g(x)＝

8、f(x)－k

9、在(－∞，0)上递减，求实数k的取值范围．(2)函数f(x)在R上是增函数．设x1＜x2，则x2－x1＞0，∴f(x2－x1)＞2，f(x2)＝f(x2－x1＋x1)＝f(x2－x1)·f(x1)－f(x2－x1)－f(x1)＋2＝f(x2－x1)[f(x1)－1]－f(x1)＋2.由(1)可知对任意x∈

10、R，f(x)＞1，∴f(x1)－1＞0.又f(x2－x1)＞2，∴f(x2－x1)·[f(x1