《复变函数》PPT课件(I)

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1、复变函数的主要研究对象是解析函数.因为，一方面它具有比较良好的性质，如能展成幂级数，具有任意阶导数，实、虚部皆为调和函数；另一方面这也是实际问题中应用较为广泛的一类函数，如平面无旋流体的流函数与势函数，静电场中的电通量和电位，它们皆与解析函数有密切联系.第二章解析函数1主要内容：1、解析函数的概念；2、函数可导与解析的充要条件；3、初等函数.第二章解析函数2§1解析函数的概念实函数的导数341、导数定义定义设函数w=f(z)z∈D,且z0、z0+Δz∈D，如果极限存在，则称函数f(z)在点z0处可导。称此极限值为f(z)在z0的导数，记作如果w=f(z)在区域D内处

2、处可导，则称f(z)在区域D内可导.5应当注意,定义中z0+Dzz0(即Dz0)的方式是任意的,定义中极限值存在的要求与z0+Dzz0的方式无关,也就是说,当z0+Dz在区域D内以任何方式趋于z0时,比值若上述极限不存在，则称函数在z0点不可导.6微分称为f(z)在z0处的微分.7例1解8例2解2、可导与连续之间的关系9注：与实变函数一样，一个复变函数连续不一定可导！10实变函数的连续与可导如果函数图像在某一点有角，那么虽然图像时连续的但是由于不能在一个角上确定它的切线，从而不能确定切线的斜率，也就不能确定导数，所以导数不存在只要可导，那么在这一点就是有定义的

3、，并且由于有定义，所以在这一点的极限值等于函数值，从而确定是连续的，也就是说的可导必连续。11与实函数一样，可导一定连续.事实上,由在z0点可导的定义,对于任给的e>0,相应地有一个d>0,使当0<

4、Dz

5、

6、一定可导，但可导未必解析.不解析的点可能可导，即解析的条件比可导要强，但我们却有以下结论：若函数在区域D内可导，则在D内一定解析.即在区域上，可导与解析是等价的.（为什么？）例如:以z=0为奇点15关于解析函数一些作者不用解析而用各种不同的名称，例如全纯，正则，解析正则，单演，伴生（synectic）等16例3答案：1718极限不存在.192021例4解22定理1.1解析函数的和、差、积、商仍为解析函数.由求导法则，不难看出：定理1.2解析函数的复合函数仍为解析函数.23§2函数可导与解析的条件本节内容：介绍一种判别函数可导性、解析性的非常有效的方法；建立函数的可导

7、性与其实、虚部的偏导之间的关系.24举例尝试容易求得观察、寻找联系后发现有25究竟是偶然的现象还是必然的规律？？为方便起见，对于实二元函数g(x,y),记26定理1函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点可导的充要条件是u(x,y)和v(x,y)在可微，且在该点满足Cauchy-Riemann方程(1)此条件也被称为达朗贝尔-欧拉条件注(2)这个条件实际上是复变函数论与偏微分方程理论之间的一座桥梁。27推论1函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y),如果u(x,y)和v(x,y)的四个偏导数:在点(x,y)处连续,且满足C-R方程，则f(z)在点z=x+iy

8、处可导。28定理2函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内解析充要条件是u(x,y)和v(x,y)在D内可微，且满足Cauchy-Riemann方程29推论2函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y),在区域D内有定义，如果在D内u(x,y)和v(x,y)的四个偏导数:存在且连续,并且满足C-R方程，则f(z)在D内解析。30例2.1判定下列函数在何处可导,在何处解析:解不满足柯西－黎曼方程,31四个偏导数均连续指数函数32四个偏导数均连续33例2.2解34例2.3证明35小结1、导数的概念，复变函数求导法则.2、解析的概念，解析与可导的关系.3、判别复变函

9、数可导与解析性的有效方法：柯西—黎曼定理.f(z)在区域D内可导f(z)在区域D内解析f(z)在z0点解析f(z)在z0点可导f(z)在z0点连续36思考题：判别真、假：×××37