04.1 圆的切线与切线长习题与答案

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1、圆的切线1一、切线切线长定理中的基本图形：如图，PA，PB为⊙O的切线，A，B分别为切点，则有：(1)两个等腰三角形(△PAB,△OAB)；(2)一条特殊的角平分线(OP平分∠APB和∠AOB)；(3)三个垂直关系(OA⊥PA,OB⊥PB,OP⊥AB)。1．遇到有切线时常添加过切点的半径（连结圆心和切点）。(图1)图1图2图32． 遇到证明某一直线是圆的切线时（1）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径），再证其与直线垂直。(图2)（2）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段，再证垂

2、足到圆心的距离等于半径。(图3)图4图53.弦切角是与圆有关的其中的一种角,当条件是切线时,往往找弦切角,看弦切角所对的弧,再找弧所对的圆周角得两角相等。(图1)4． 遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。(图4)遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点。(图5)一、圆中有切线，常作过切点的半径（有点，过圆心作切线的垂线）例1.如图，已知MN为⊙O的直径，AP是⊙O的切线，P为切点，点A在MN的延长线上，若PA=PM，求∠A的度数。解：连结OP，设∠A的度数为x。∵PA=P

3、M，∴∠M=∠A，同理可得∠OPM=∠M，∴∠POA=∠OPM+∠M=2∠M=2∠A=2x。又∵AP切⊙O于点P，∴AP⊥OP，∴∠A+∠POA=90°，即x+2x=90°，解之得x=30°，∴∠A=30°。例2：如图，PA是⊙O的切线，切点是A，过点A作AH⊥OP于点H，交⊙O于点B.求证：PB是⊙O的切线.证明：连接OA、OB.∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP=90°.∵OA=OB，AB⊥OP，∴∠AOP=∠BOP.又∵OA=OB，OP=OP，∴△AOP≌△BOP.∴∠OPB=∠OAP=90°.∴PB是⊙

4、O的切线.切线3/3例3.如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上的一点,AD和过C点的切线垂直,垂足为D，求证∠1=∠2。证明：连结OC。∵DC切⊙O于点C，∴OC⊥DC。又∵AD⊥DC，∴OC∥AD，∴∠1=∠3。∵OA=OC,∴∠2=∠3，∴∠1=∠2。评析：当欲求解的问题中含有圆的切线时，常常需要作出过切点的半径，利用该半径与切线的垂直关系来沟通题设与结论之间的联系。例4、如图，AB、AC与⊙O相切有与B、C点，∠A=50°，点P优弧BC的一个动点，求∠BPC的度数。解：连结OB、OC，∵AB、AC是⊙O

5、的切线∴AB⊥OB，AC⊥OC，∴∠ABO=∠ACO=90°在四边形ABOC中，∠A=50°∴∠BOC=360°-∠A-∠ABO-∠ACO=360°-50°-90°-90°=130°∴∠BPC=12∠BOC=65°例5、已知：MN切⊙O于A点，PC是直径，PB⊥MN于B点，求证：PA2=PB·PC分析：PA2=PB·PCPAPB=PCPA∆PAB∽∆PCA证明：连结AC、AP∵PC是⊙O的直径∴∠CAP=90°∵PB⊥MN∴∠PBA=90°∴∠CAP=∠PBA∵MN是⊙0的切线∴∠BAP=∠ACP∴∆PAB

6、∽∆PCDPAPB=PCPAPA2=PB·PC在解决有关切线问题时，常作过切点的半径，利用切线的性质定理；或者连结过切点的弦，利用弦切角关系，使问题得以解决。二、无公共点，利用圆心“作垂直，证半径”判定切线1、如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，以点D为圆心，DB长为半径作⊙O。求证：AC与圆D相切。2、已知：□ABCD的对角线AC、BD交于O点，BC切⊙O于E点.求证：AD也和⊙O相切.习题一题1题21、如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于A、B，C是弧AB上

7、任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E，若△PDE的周长为12，则PA长为______________。题1题2题3切线3/32、如图，△ABC中，∠A=45°，I是内心，则∠BIC=。3、如图，Rt△ABC中，AC=8，BC=6，∠C=90°，⊙I分别切AC，BC，AB于D，E，F，求Rt△ABC的内心I与外心O之间的距离。4、如图，A是半径为1的圆O外的一点，OA=2，AB是圆O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连结AC，求阴影部分的面积。题4题55、已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的

8、切线，连AC交⊙O于D，过D作⊙O的切线EF，交BC于E点.求证：OE//AC.习题二有公共点，利用公共点”连半径，证垂直”判定切线1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，点O在AB上以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E。(1)、求证：AC是⊙O的切线。(2)、若OB=10，CD=8，求BE的长。利用切线的性质解边角问题1、如图，在⊙O中，点C是直径AB的延长线上一点，过点C作⊙O