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时间:2019-07-02
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1、第四节重积分应用举例一、曲面的面积二、质心和转动惯量三、引力一、曲面的面积例1设一底面为矩形的柱体被一平面所截,如果截面的法向量为底面位于面,证明截面(平行四边形)的与底面的面积有如下的关系:面积证不妨设截面MPQR与底面MNOL的位置关系如图所示,其中点M的坐标为。由解析几何知,截面MPQR有点法式方程将点P的坐标代入上式,得,即点P的坐标为又将点R的坐标代入上式,得,即点R的坐标为因而得于是得截面面积1.设曲面的方程为:如图,go曲面S的面积元素曲面面积公式为:3.设曲面的方程为:曲面面积公式为:2.设曲面的方
2、程为:曲面面积公式为:同理可得解例2求旋转抛物面位于之间的那一部分的面积。解:设由公式知例3求半径为a,高度为由公式得球冠的面积其中解:设球冠的方程为的球冠的面积。二、质心和转动惯量1、质心:当薄片是均匀的,重心称为形心.由元素法例3设一正棱锥体的底面位于面上,底面中心为坐标原点,顶点位于正z轴上,高度为h,求该正棱锥体的形心。解:设的形心坐标为且,其中v是的体积解2、转动惯量薄片对于轴的转动惯量薄片对于轴的转动惯量解三、引力其中例6求半径为R的均匀圆盘面密度为常数,对位于单位质点的引力解:由圆盘的对称性及质量分布
3、的均匀性知又按公式,所求引力沿z轴的分量为解由积分区域的对称性知所求引力为几何应用:曲面的面积物理应用:重心、转动惯量、对质点的引力(注意审题,熟悉相关物理知识)四、小结思考题薄片关于轴对称思考题解答练习题练习题答案
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