《重积分的应用举例》PPT课件

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1、§7.4重积分的应用举例1.重积分的几何应用计算面积与体积例1求两曲面所围区域的体积.解所求体积为于是曲面的面积设曲面S的方程zf(x,y)在区域D上具有连续的一阶偏导数,则曲面S的面积为sdyxfyxfSyxD),(),(122++=òò,或dxdyyzxzSD22)()(1¶¶+¶¶+=òò.设光滑曲面则面积S可看成曲面上各点处小切平面的面积dS无限积累而成.设它在D上的投影为d,(称为面积元素)则故有曲面面积公式若光滑曲面方程为则有即若光滑曲面方程为则有例2求圆柱面被圆柱面所割部分的面积.解由对称性知，所求曲面面积是位于第一挂限

2、中的曲面的面积的8倍.于是所求曲面面积为利用曲面的参数方程求曲面的面积若曲面S由参数方程给出，其中D是一个平面有界闭区域,又x(u,v),y(u,v),z(u,v)在D上具有连续的一阶偏导数，且不全为零，则曲面S的面积其中例3求螺旋曲面面积.解由已知条件得2.重积分的物理应用(1)质量平面薄片的质量是薄片在处的面密度.空间物体的质量是物体在处的体密度.分析P点对y轴的静矩为dMyx(xy)d设质心的横坐标为x薄片的质量为M则xMMy薄片对y轴的静矩为dsP(x,y)设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D其面密度

3、(xy)是闭区域D上的连续函数则该平面薄片的质心坐标为(2)质心分析P点对x轴的静矩为dMxy(xy)d设质心的横坐标为y薄片的质量为M则yMMx薄片对x轴的静矩为dsP(x,y)设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D其面密度(xy)是闭区域D上的连续函数则该平面薄片的质心坐标为(2)质心设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D其面密度(xy)是闭区域D上的连续函数则该平面薄片的质心坐标为讨论设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D其面密度是常数如何求该平面薄片的质心(称为形心)？提示(2)质心

4、类似地设一物体占有空间闭区域其密度(xyz)是闭区域上的连续函数则该物体的质心坐标为设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D其面密度(xy)是闭区域D上的连续函数则该平面薄片的质心坐标为(2)力矩与质心转动惯量元素在点P(x,y)处取一直径很小的小薄片,其面积(面积元素)为ds,其质量认为集中于点P,其值近似为r(x,y)ds.P点对x轴和对y轴的转动惯量为dIxy2(xy)ddIyx2(xy)ddsP(x,y)设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D其面密度(xy)是D上的连续函数,则该平面薄

5、片对x、y轴的转动惯量为(3)物体的转动惯量类似地设一物体占有空间闭区域其密度(xyz)是上的连续函数则该物体对于x、y、z轴的转动惯量为设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D其面密度(xy)是D上的连续函数,则该平面薄片对x、y轴的转动惯量为(3)物体的转动惯量例4求由两圆周所围的均匀薄片的质心.解因为闭区域D对称于y轴,所以质心必位于y轴上,于是r=2asinθr=4asinθ由公式其中S的面积为所求重心坐标为例5求由平面及x=0,y=0,z=0所围之均匀物体对三个坐标面的转动惯量.解物体所占的空间闭区域如图所示.

6、由对称性得