《函数的极限》PPT课件(I)

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1、§1.2函数的极限一、概念引入二、数列的极限三、收敛数列的性质四、函数的极限五、函数极限的性质§1.2函数的极限极限的概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的．极限的思想源远流长，我国古代数学家刘徽(公元3世纪)利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法——割圆术，就是极限思想在几何学上的应用．极限的思想方法在高等数学中贯穿始终，是一种极为关键的研究问题的方法.一、概念引入正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积割圆术§1.2函数的极限二、数列的极限§1.2函数的极限定义按照某一法则依次序排列的一列

2、数称为数列，记作其中的每一个数称为数列的项，称为它的一般项或通项.如数列§1.2函数的极限观察数列当n无限增大时,无限接近于0.而数列当n无限增大时,无限接近于1.问题以上两个数列有什么共性，如何用数学语言去刻划？对数列存在常数a，与a的距离可以任意小，只要n足够大.§1.2函数的极限定义1如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正整数N,使得当时，总有则称数列收敛于a，a称为数列的极限.记作或如果数列没有极限，则称它是发散的．有§1.2函数的极限注①不等式刻划了与a无限接近；②正整数N与

3、给定的有关；数列极限的几何意义③数列有没有极限关键要看后面的无穷多项.所有的点都落在内，例1所以,证§1.2函数的极限例2证为了使只需使用定义证数列极限存在时关键是对任意给定寻找N,但不必要求最小的N.注§1.2函数的极限§1.2函数的极限三、收敛数列的性质定理1（唯一性）若数列收敛，则它的极限唯一.证由定义,故收敛数列极限唯一.才能成立.使得设当时恒有当时恒有§1.2函数的极限定理2（有界性）若数列收敛，则它是有界的.即存在正数M，使对一切正整数n，总有证由极限定义,设则使得当时恒有即,n则对

4、一切正整数有界.故§1.2函数的极限有界性是数列收敛的必要条件,不是充分条件.注例如数列有界，但并不收敛.推论无界数列必定发散.定理3（保号性）设数列收敛于a，数列收敛于b，且则存在正整数N,当时，恒有成立.§1.2函数的极限由定义,取从而证则存在正整数N，同时成立.所以恒有成立.推论设数列收敛于a，数列收敛于b，且从某项起恒有，则.反证法§1.2函数的极限四、函数的极限1.自变量趋于无穷大时函数的极限设函数在上有定义.类似数列，考虑随着x的无限增大,相应的函数值是否无限接近某一定数A.当x趋于

5、正无穷大时对应的函数值无限接近0，而当x趋于负无穷大时对应的函数值也无限接近0.如函数xy§1.2函数的极限定义2A是一个确定的数．若对任给的正数，总存在某一个正数X，使得当时就有设函数当大于某一正数时有定义，则称函数当时以A为极限.记作或定义§1.2函数的极限yxOX-XA+AA-的几何意义对任给的正数，总能找到x轴上的点X，使得的图形落在例3证要使成立.只要有§1.2函数的极限证明故例4证要使成立.只要有§1.2函数的极限在极限证明过程中运用函数适当放大的技巧.注另两种情形下函数的极限§

6、1.2函数的极限2.自变量趋于有限值时函数的极限考察函数当自变量x无限接近于2时的变化趋势.22xyO由右图可知当x不等于2但趋于2时，对应函数值无限接近于2.如何用数学语言刻划无限接近于确定值A?问题§1.2函数的极限设函数恒有在点x0某去心邻域内有定义.定义3则称函数当时以A为极限.记作或定义§1.2函数的极限注①f(x)有没有极限与f(x)在点是否有定义没有关系;②的大小与给定的有关；③不唯一，只要求存在，不一定求最大的.必存在x0的去心邻域对应的函数图形位于这一带形区域内.以A为中心线作

7、宽为的水平带形区域，几何意义§1.2函数的极限例5证函数在点处没有定义.要使§1.2函数的极限五、函数极限的性质函数极限与数列极限有类似的性质,且证明方法也类似.以自变量趋于有限值时函数的极限说明.定理4（唯一性）定理5（局部有界性）若极限存在，则它是唯一的.若存在，则存在的某去心邻域，使得在内有界．§1.2函数的极限定理6（局部保号性）若(或)，则对任意正数存在的某去心邻域，使对一切总有(或)．单侧极限的定义如果函数当从的左侧(即)趋于时以数A为极限，则A称为在的左极限．记作或§1.2函数的极

8、限如果函数当从的右侧(即)趋于时以数B为极限，则B称为在的右极限．记作或左极限与右极限统称为单侧极限.函数极限与单侧极限的关系§1.2函数的极限此充要条件常用于判别分段函数在分段点处的极限是否存在.注例6讨论函数当时的极限.xyo解因为故当时的极限不存在.§1.2函数的极限内容小结§1.1函数的极限数列极限定义，思想，几何意义函数极限定义，几何意义局部保号性;唯一性;局部有界性;函数的左右极限判定极限的存在性.收敛数列的性质唯一性；有界性；保号性函数极限的性质思考练习§1.2函数的极限数列与数列