《函数极限与无穷小》PPT课件

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1、上次课回顾2.3无穷小量与无穷大量一、无穷小量1.定义若在自变量x的某个变化过程中,f(x)以0为极限,即limf(x)=0则称f(x)为该变化过程中的无穷小量.注:(1)无穷小量是一个变量，除0以外，任何一个数无论它有多小都不是无穷小量(为什么？).因此不要把无穷小量与一个很小的数混为一团.(2)称一个函数是无穷小量时，一定要明确指出自变量的变化趋势.无穷小量与函数极限的关系定理:变量y以A为极限的充要条件是:变量y等于A与一个无穷小量的和.α与y取极限过程相同零是无穷小量中唯一的一个常数无穷小量的性质1.有限个无穷小的代数和仍为无穷小.2.有限个无穷小的乘积仍为无穷小.3.无穷小与有界变量

2、的乘积仍为无穷小.例1.求解：因为而故当x0时是无穷小量，即同理有二、无穷大量在自变量的变化过程中，相对于无穷小的绝对值无限变小的变化趋势，函数还有一种变化趋势，即就是绝对值无限增大的情形.例如,当x0时，的绝对值会无限增大.yx0定义对于任意给定的正数M,在自变量的变化过程中，因变量y变化到一定程度以后，恒有

3、y

4、>M则称y在此变化过程中为无穷大量。记作注Lim下方没有注明自变量变化趋势,表明对各种极限都成立.例如：(但为什么？)yx10y=lnxxyy=tanxxy01y=ex00注：(1)无穷大量是一个变量，一个数无论再大也不是无穷大量.(2)称一个函数是无穷大量时，必须明确指出自

5、变量的变化趋势.(3)limf(x)=仅仅只是一个记号，它并不代表函数的极限值存在.例2.当x时，sinx与cosx是否为无穷大量？解：由于当x时，sinx与cosx的图形总是在1与1之间来回摆动，其函数值不会无限增大，故它们都不是无穷大量.无穷大的性质(1)无穷大与有界变量的代数和是无穷大.(2)无穷大与非零常数的乘积是无穷大.(3)无穷大与无穷大的乘积是无穷大.利用上述性质我们可以推出如下结论：结论三、无穷小量与无穷大量之间的关系定理：在自变量的某个变化过程中(1)若f(x)为无穷大量，则为无穷小量.(2)若f(x)为无穷小量，且f(x)0，则为无穷大量.例3.指出下列函数变

6、化趋势同步练习P210例4四、为什么要学习无穷小和无穷大量？对一个函数而言，在自变量的某个变化过程中，其要么有极限，要么无极限，二者必居其一，且仅居其一.无穷小恰为极限存在时的特殊情况，无穷大是极限不存在时的特殊情况.只要抓住这两种特殊情形，就可以有助于解决一般性的问题.五、极限不存在时的几种情形1.单侧极限都存在但是不相等.比较当n时的两个无穷小量n110100100010000…10.10.010.0010.0001…10.010.00010.0000010.00000001…从表中可看出，当n时，趋于0的速度快得多.六、无穷小量的比较（C是不等于零的常数）课堂练习