《函数与方程》PPT课件(I)

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1、3.1.1方程的根与函数的零点（1）讨论：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？先观察几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数，方程x2-2x-3=0与函数y=x2-2x-3；方程x2-2x+1=0与函数y=x2-2x+1；方程x2-2x+3=0与函数y=x2-2x+3；再请同学们解方程，并分别画出三个函数的草图.方程x2-2x-3=0与函数y=x2-2x-3xyO3-2-1-11212-3-4图3.1-1(1)可以看出，方程x2-2x-3=0有两个实根

2、x1=-1,x2=3；函数y=x2-2x-3的图象与x轴有两个交点(-1,0),(3,0).这样，方程x2-2x-3=0的两个实数根就是函数y=x2-2x-3的图象与x轴交点的横坐标.方程x2-2x+1=0与函数y=x2-2x+1xyO-11212图3.1-1(2)可以看出，方程x2-2x+1=0有两个相等的实数根x1=x2=1；函数y=x2-2x+1的图象与x轴有唯一的交点(1,0).这样，方程x2-2x+1=0的实数根就是函数y=x2-2x+1的图象与x轴交点的横坐标.方程x2-2x+3=0与函数y=x2-2x+3

3、图3.1-1(3)xyO35-1121234方程x2-2x+3=0无实数根，函数y=x2-2x+3的图象与x轴没有交点.上述关系对一般的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)及其相应的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)也成立.设判别式△=b2-4ac，我们有：（1）当△>0时，一元二次方程有两个不等的实数根x1，x2，相应的二次函数的图象与x轴有两个交点(x1,0),(x2,0)；（2）当△=0时，一元二次方程有两个相等的实数根x1=x2，相应的二次函数的图象与x轴有唯一的交点(x1,0)；（3）当△<0时，一

4、元二次方程没有实数根，相应的二次函数的图象与x轴没有交点.换言之：（1）一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两不同根就是相应的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴有两个不同交点，且其横坐标就是根；（2）一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个重根就是相应的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴一个交点，且其横坐标就是根；（3）一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根就是相应的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴没有交点；总之，一元二次方程ax2+bx+c

5、=0(a≠0)的根就是相应的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标.一、函数的零点对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点（zeropoint）.显然，函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根，也就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点.课堂例题例1利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：解：（1）方程-x2+3x+5=0与函数y=-x2+3x+5图例1

6、(1)xyO365-11212345874-2由图知，相应的二次函数y=-x2+3x+5的图象与x轴有两个交点，所以一元二次方程-x2+3x+5=0有两个不等的实数根.解：（2）方程2x(x-2)=-3与函数y=2x(x-2)+3图例1(2)xyO35-1121234由图知，相应的二次函数y=2x(x-2)+3的图象与x轴没有交点，所以一元二次方程2x(x-2)=-3没有实数根.课堂练习利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：课后作业利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：3.1.1方程的根与函数的零点（2）复

7、习导入问：方程的根与函数的零点之间具有怎样的关系？答：方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点.问：如何用方程的根与函数的零点之间关系判断方程在某区间是否有根？参与讨论并阅读课本第91页《中外历史上的方程求解》探究观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象，我们发现函数f(x)=x2-2x-3在区间[-2,1]上有零点.计算f(-2)与f(1)的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间[2,4]上是否也具有这种特点呢？xyO3-2-1-11212-3-4图3.1-2新课经过讨

8、论，可以发现：f(-2)·f(1)<0，函数f(x)=x2-2x-3在区间(-2,1)内有零点x=-1，它是方程x2-2x-3=0的一个根.同样地，f(2)·f(4)<0，函数f(x)=x2-2x-3在区间(2,4)内有零点x=3，它是方程x2-2x-3=0的另一个根.课堂练习画出二次函数f(x)=-x2-x+2的图象，观察函数f