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1、第三章几何向量本章主要讨论几何向量的线性运算及线性相关性,几何向量的数量积、向量积和混合积,空间中的直线与平面.1§3.1几何向量及线性运算3.1.1几何向量的概念描述速度、加速度、力等既有方向又有大小的量,称为向量或矢量.向量有两个特征-----大小和方向,几何中的有向线段恰好具有这个特征.抛去一般向量的具体意义,我们用几何空间中有向线段表示向量,并称这样的向量为几何向量(有时简称向量).有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.以A为起点,B为终点的有向线段表示的向量记为AB如下图所示(图3.1)2有时也用一个
2、黑体字母表示向量,如a,b,n等.向量的大小叫向量的长度(也叫向量的模).向量AB,a的长度依次记为
3、AB
4、和
5、a
6、.长度为1的向量称为单位向量.起点和终点重合的向量称为零向量,记作0.零向量的长度等于0,零向量的方向可以看作是任意的.BA图3.13在实际问题中,有些向量与其起点有关,有些向量与其起点无关.本书只研究与起点无关的向量,并称这种向量为自由向量.这样的向量可以平行移动,所以如果两个向量a和b的长度相等,又互相平行(即在同一条直线上,或在平行直线上),且指向相同,则说a与b相等,记为a=b,也就是说,平行移动后能完全重合的
7、向量是相等的.因为本书讨论的是自由向量,故可以说任两向量共面.4§3.1.2几何向量的线性运算向量的线性运算是指向量的加法和数与向量相乘.设a=OA,b=OB,规定a与b的和a+b是一个向量,它是以OA,OB为邻边作平行四边形OACB后,再由点O与其相对的顶点C连成的向量,即a+b=OC(图3.2).这种方法叫平形四边形法.如果两向量a=OA与b=OB在同一直线上,那么规定它们的和是这样一个向量:当OA与OB的指向相同时,和向量的方向与原来两向量的方向相同,其长度等于两向量长度的和;当OA与OB的指向相反时,和向量的方向与较长的向量
8、的方向相同,而长度等于两向量长度的差.5如图3.2,AC＝OB＝b,所以,让a的的终点与b的起点重合,则由a的起点到O到b的终点C的向量OC为a,b的和向量即OC=a+b,这种方法叫方法叫求向量a与b和的三角形法.按定义,容易证明向量加法满足:(1)a+b=b+a(交换律)(2)(a+b)+c=a+(b+a)(结合律)(3)a+0=a(4)a+(-a)=0图3.2OBACabC=a+b6由于向量加法满足结合律,多个向量相加,不必加括弧指明相加的次序.求多个向量a1,a2,…..an之和时,只要让前一向量的终点作为次一向量的起点,则a
9、1的起点与an的终点相连并指向后者的向量等于a1+a2+….+an·n=3的例子如图3.3所示.与向量b的长度相等而方向与b的方向相反的向量称为b的负向量,记为-b.向量a与-b的和向量记为a-b=a+(-b),称为a与b的差.(见图3.4)cbaa+b+ca+bb+c图3.3ba-ba图3.47为了表示几何向量的“伸缩”,我们定义实数与向量的乘法(简称数乘运算).实数k与非零向量a的乘积是一个,记为ka.它的长度
10、ka
11、=
12、k
13、
14、a
15、.它的方向:当k>0时,与a同向;当k<0时,与a反向如图3.5,当k=0时,方向不定(此时ka是
16、零向量).若a=0,对任意实数k,规定ka=0.实数与向量的数乘满足:(1)1a=a,(-1)a=-a;(2)k(la)=(kl)a;(3)k(a+b)=ka+kb;(4)(k+l)a=ka+la;显然,只要a不是零向量,a/
17、a
18、就是与a同方向的单位向量记作a,于是a=
19、a
20、a.a2a-a-2a图3.58例1在平行四边形ABCD,设AB=a,AD＝b.试用a和b表示MA,MB,MC和MD,这里M是平行四边形对角线的交点(图3.6)解:由a+b=2AMMA=-½(a+b)MC=-MA=½(a+b)由-a+b=2MD,得MD=½(b-
21、a),MB=-MD=½(a-b)图3.6DCBAMba9§3.2几何向量的数量积﹑向量积和混合积3.2.1向量在轴上的投影设有两个非零向量a,b任取空间一点O,作OA=a,OB=b,称不超过π的∠AOB(设)为向量a与b的夹角(图3.7),记作,零向量与另一向量的夹角可以在0到π间任意取值.可以类似地定义向量与一轴的夹角及两轴的夹角.设有空间一点A及一轴u,通过点A作轴u的垂直平面π,那么称平面π与轴u的交点A′为点A在轴u上的投影(图3.8)10ABOabθ图3.7AA’πu图3.811定义3.1设向量AB的起点A和终点
22、B在轴u上的投影分别为A'和B'(书P62图3.9),那么轴u上的向线段A'B'的值A'B'其绝对值等于
23、A'B'
24、,其符号由A'B'的方向决定,当A'B'与u轴同向时取正号;反过来与u轴反向时取负号)叫做向量AB在轴u上的投影,记作
