《全微分及应用》PPT课件

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1、全微分————函数f(x,y)对x的偏微分——函数f(x,y)对y的偏增量————函数f(x,y)对y的偏微分全增量zf(xx,yy)f(x,y).偏增量与偏微分f(xx,y)f(x,y)fx(x,y)x,f(x,yy)f(x,y)fy(x,y)y,——函数f(x,y)对x的偏增量根据一元函数微分学中增量与微分的关系,有f(xx,y)f(x,y)f(x,yy)f(x,y)fx(x,y)xfy(x,y)y全微分的定义其中A、B不依赖于x、y而仅与x、y有关,则称函数zf(x,y)在点(x,y)可微,而Ax

2、By称为函数zf(x,y)在点(x,y)的全微分,记作dz,即dzAxBy.如果函数在区域D内各点处都可微,那么称这函数在D内可微分.如果函数zf(x,y)在点(x,y)的全增量zf(xx,yy)f(x,y)可表示为可微与连续偏导数存在不一定连续,但可微必连续.这是因为,如果z=f(x,y)在点(x,y)可微,则zf(xx,yy)f(x,y)AxByo(r),因此函数z=f(x,y)在点(x,y)处连续.于是从而可微的必要条件应注意的问题如果函数zf(xy)在点(xy)可微则函数在该点的偏导数必定存

3、在，且函数zf(xy)在点(xy)的全微分为偏导数存在是可微的必要条件但不是充分条件例题:见课本例1可微的充分条件以上结论可推广到三元及三元以上函数.则函数在该点可微.叠加原理按着习惯,x、y分别记作dx、dy,并分别称为自变量的微分,这样函数z=f(x,y)的全微分可写作二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理.叠加原理也适用于二元以上的函数,例如uf(x,y,z)的全微分为多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导例题:见课本例2-4练习:习题8-3A1(1);2;3;4(1)当函数z

4、f(x,y)在点(x,y)的两个偏导数fx(x,y),fy(x,y)连续,并且

5、x

6、,

7、y

8、都较小时,有近似等式zdzfx(x,y)xfy(x,y)y,即f(xx,yy)f(x,y)fx(x,y)xfy(x,y)y.我们可以利用上述近似等式对二元函数作近似计算.*全微分在近似计算中的应用f(xx,yy)f(x,y)fx(x,y)xfy(x,y)y.zdzfx(x,y)xfy(x,y)y,例题:见课本例5-6１．多元函数全微分的概念；２．多元函数全微分的求法；３．多元函数连续、可导、可微的关系．（

9、注意：与一元函数有很大区别）小结作业:习题8-3A/1(2)(5);4(2)