算符的特征值与特征函数低能儿 nbsp 2010年

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1、算符的特征值与特征函数低能儿nbsp2010年算符的特征值与特征函数2010年06月21日　　设A，B，C∈S，若A满足Af（x）=af（x），a为不等于0的实数，复数或序数，称a为算符A的特征值，相应的f（x）称为对应a的特征函数。变形得（A-aI）f（x）=0，原问题化为算符（A-aI）乘上什么函数得0？若f（x）不恒等于0，必须（A-aI）=0。求特征值，特征函数问题，化为解算符方程问题。算符（A-aI）=0或算符相等A=aI，是有特别意义的，算符等式A=aI的意义为：一定存在一个与a有关的函数f（x，a）使

2、得下式Af（x，a）=af（x，a）成立，或（A-aI）f（x，a）=0成立。反过来若Af（x，a）=af（x，a）成立，或（A-aI）f（x，a）=0成立，则规定A=aI。　　因为方程bAf（x）=af（x），与方程Af（x）=a/b·f（x）同解，所以只求算符方程A=aI的解即可。下面分别求一些算符满足方程A=aI的解，称为算符的标准解。　　⑴积分算符∫，设满足算符方程∫=aI的特征函数为f（x，a），既等式∫f（x，a）=af（x，a）成立，两边微分可得f（x，a）=adf（x，a）。求得a=f（x，a）/d

3、f（x，a），为常数，显然a为基数等于∫的序数。记为∫/a，特征函数为任意可积函数。　　⑵微分算符d，设满足算符方程d=aI的特征函数是f（x，a）。既等式df（x，a）=af（x，a）成立。求得a=df（x，a）/f（x，a）为常数，显然a为基数等于d的序数，特征函数是任意可微函数。⑶微商算符D=d/dx=∫/xd，满足算符方程D=aI的特征值是不定式d/d所能取到的值，即任何一个实数（或复数），a∈R。特征函数可由方程dy/dx=ay，其中y=f（x），求得，dy/y=adx，两边积分得，∫d（lncy）=∫a

4、dx，lncy=ax，y=e/ax/c=ke/ax，所以特征函数是指数函数，三角函数。　　⑷增量算符e/d=1+d，满足算符方程I+d=aI，移项得d=（a-1）I，特征值与特征函数同⑵。　　⑸平移算符τh=∫/（I+h/I）d，满足算符方程d/d（x+h）=aI，的特征值同⑶，特征函数为指数函数，三角函数。y=ke/ax。　　⑹反转算符σ=∫/(-I)d，满足算符方程d/d（-x）=aI，的特征值同⑶，特征函数为指数函数，三角函数。y=ke/ax。　　⑺差分算符⊿h=∫I/（I+h/I）d，特征值与特征函数可从⑶

5、，⑷求得。　　⑻算符和的特征值与特征函数，设A，B∈S，A=aI，B=bI，对应的特征函数分别为h（x，a），g（x，b），则Ah（x，a）=ah（x，a），Bg（x，b）=bg（x，b）。若A的特征函数集为H，h（x，a）∈H,B的特征函数集为G，g（x，b）∈G，H与G的交不空，设F=H∩G，取f（x）∈F，对应的特征值分别为a，b，则（A+B）f（x，a）=Af（x，a）+Bg（x，b）=af（x，a）+bf（x，b）=（a+b）f（x，a）。此时称a+b为A+B和的特征值，相应的f（x）为算符和的特征函数。

6、　　⑼算符直积（和）的特征值与特征函数，设A，B∈S，A=aI，B=bI，对应的特征函数分别为h（x，a），g（x，b），则Ah（x，a）=ah（x，a），Bg（x，b）=bg（x，b）。若A的特征函数集为H，h（x，a）∈H,B的特征函数集为G，g（x，b）∈G，H与G的交不空，设F=H∩G，取f（x）∈F，则Ah（x，a）·Bg（x，b）=ah（x，a）·bg（x，b）=a·b·h（x，a）g（x，b）=ab(h（x，a）g（x，b）)。以ab为特征值，以h（x，a）g（x，b）特征函数的算符记为A·B称为算符

7、A，B的直积。显然算符直积的条件是：①算符作用在函数上相当于算符和函数相乘。②算符和函数可交换，但算符对应的特征函数不可交换。　　⑽算符的复合，复合是算符的乘积的推广。按积的定义:（AB）f（x）=A（Bf（x））=Cf（x），C称为A与B的积，记为AB=C，或C=AB,可知必须有bG为H的子集时才能相乘。设A，B，C∈S。其特征函数集分别为F，H，G，且bH，cG都是F的子集，或f(h（x，a），g（x，b）)∈F，求出B，C的直积（和）或f(h（x，a），g（x，b）)∈F，才能得出Af=af成立，称A是B，C

8、的复合。　　⒒算符的逆，算符A作用在函数f上得函数g，那么Aˉ作用在g上而得f，称Aˉ为A的逆算符。AAˉ=AˉA=I是单位算符，或称恒等算符。积分算符∫的逆是微分算符d。微分算符d的逆是积分算符∫。平移算符τh的逆还是平移算符τh。反转算符σ的逆是本身。　　⒓线性算符，满足条件A（af+bg）=aAf+bAg的算符A称为线性算符，显然它们的相应特征值互为倒