平面弯曲杆件的变形与刚度计算

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1、平面弯曲变形第九章目录梁的挠度，横截面的转角。度量梁变形的参数---二、挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的位移。一、挠曲线：梁变形后的轴线。性质：连续、光滑、弹性、极其平坦的平面曲线。三、转角：横截面绕中性轴转过的角度。用“”表示。q用“y表示。q§9-1梁变形的基本概念挠度和转角y=y（x）……挠曲线方程。挠度向下为正；向上为负。θ=θ(x)……转角方程。由变形前的横截面转到变形后，顺时针为正；逆时针为负。四、挠度和转角的关系挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的位移。转角：横截面绕中性轴转过的角度。用“”表示。用“y”表示。qq挠曲线为一条平坦的曲线一、曲率与弯矩的关系：EIM

2、=r1二、曲率与挠曲线的关系（数学表达式)……（2）→→三、挠曲线与弯矩的关系：联立（1）、（2）两式得®……（1）§9-2挠曲线近似微分方程M>00)(<¢¢xy挠曲线近似微分方程的近似性——忽略了“Fs”以及对变形的影响使用条件：弹性范围内工作的细长梁。M<00)(>¢¢xy结论：挠曲线近似微分方程——xyxy§9-3用积分法求弯曲变形挠曲线的近似微分方程为：积分一次得转角方程为：再积分一次得挠度方程为：7-3目录积分常数C、D由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。位移边界条件光滑连续条件－弹簧变形§9-3用积分法求弯曲变形目录§9-3积分法计算梁的变形步骤：（EI为常量）1、

3、根据荷载分段列出弯矩方程M（x）。2、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分3、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。右左CCqq=连续条件：右左CCyy=边界条件：F（1）、固定支座处：挠度等于零、转角等于零。（2）、固定铰支座处；可动铰支座处：挠度等于零。（3）、在弯矩方程分段处：一般情况下左、右的两个截面挠度相等、转角相等。4、确定挠曲线方程和转角方程。5、计算任意截面的挠度、转角；挠度的最大值、转角的最大值。例：求图示悬臂梁自由端的挠度及转角(EI=常数）。解：a)建立坐标系并写出弯矩方程b)写出微分方程并积分c)应用位移边界条件求积分常数Fxd)确定挠曲

4、线、转角方程e)自由端的挠度及转角x=0,y=0;θ=0yLFC解：a)建立坐标系并写出弯矩方程b)写出微分方程并积分例：求图示梁的跨中的挠度和转角（EI=常数）左侧段（0≤x1≤a）：右侧段（a≤x2≤L）：e)跨中点挠度及两端端截面的转角d)确定挠曲线和转角方程c)应用位移边界条件和连续条件求积分常数x=0,y=0;x=L,y=0.x1=x2=a，y1=y2；y'1=y'2两端支座处的转角——讨论：1、此梁的最大挠度和最大转角。左侧段：右侧段：最大挠度一定在左侧段FC当a＞b时——当a＞b时——最大挠度发生在AC段2、a=b时此梁的最大挠度和最大转角。FCqLABxC解：a)建

5、立坐标系并写出弯矩方程b)写出微分方程并积分c)应用位移边界条件求积分常数d)确定挠曲线和转角方程e)最大挠度及最大转角ql/2ql/2x=0,y=0;x=L,y=0.例：求分布载荷简支的最大挠度和最大转角(EI=常数）讨论积分法求变形有什么优缺点？§9-3用积分法求弯曲变形目录§9-4用叠加法求弯曲变形设梁上有n个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为M(x)，转角为，挠度为y，则有：若梁上只有第i个载荷单独作用，截面上弯矩为，转角为，挠度为，则有：由弯矩的叠加原理知：所以，7-4目录故由于梁的边界条件不变，因此重要结论：梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时

6、的挠度或转角的代数和。这就是计算弯曲变形的叠加原理。§9-4用叠加法求弯曲变形目录梁上有分布载荷，集中力与集中力偶。弯矩：弯矩的叠加原理----梁在几个载荷共同作用下的弯矩值，等于各载荷单独作用下的弯矩的代数和。§9-4叠加法计算梁的变形1、梁在简单载荷作用下挠度、转角应为已知或有变形表可查；2、叠加法适用于求梁个别截面的挠度或转角值。一、前提条件：弹性、小变形。二、叠加原理：各荷载同时作用下，梁任一截面的挠度或转角，等于各荷载分别单独作用下同一梁同一截面挠度或转角的代数和。三、叠加法的特征：叠加法计算梁的变形aaF=+例：叠加法求A截面的转角和C截面的挠度.解、a)载荷分解如

7、图b)由梁的简单载荷变形表，查简单载荷引起的变形。aaqFACAaaqc)叠加L/2L/2qACA=+例：求图示梁C截面的挠度。解：1、载荷分解如图2、查梁的简单载荷变形表3、叠加L/2ACAq/2L/2(a)L/2L/2ACAq/2q/2(b)=+ABLaCqqaABLCM=qa/2ÞÞ（b）例：求图示梁B截面的挠度（EI已知）。解：1)结构分解如图2)查梁的简单载荷变形表3)叠加BCÞÞq（a）讨论叠加法求变形有什么优缺点？§9-4用叠加法求弯曲变形目录一、梁的刚