梁的弯曲变形与刚度计算1

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1、§9–2梁的挠曲线近似微分方程§9-3积分法计算梁的变形§9-5梁的刚度计算及提高梁刚度的措施第9章梁的弯曲变形与刚度计算§9-1工程中的弯曲变形问题§9-6简单超静定梁§9-7梁的弯曲应变能§9-4叠加法计算梁的变形弯曲构件除了要满足强度条件外,还需满足刚度条件。如车床主轴的过大弯曲引起加工零件的误差。9.1工程中的弯曲变形问题9.1工程实际中的弯曲变形问题7-19.1工程实际中的弯曲变形问题度量梁变形后横截面位移的两个基本量:挠度和转角挠度(w):横截面形心(即轴线上的点)在垂直于x轴方向的线位移,称为该截面的挠度(Deflection)。yxABCw(挠度)C

2、1转角():横截面绕中性轴(即Z轴)转过的角度（或角位移）,称为该截面的转角(Sloperotationangle)。q(转角)取梁的左端点为坐标原点,梁变形前的轴线为x轴,横截面的铅垂对称轴为y轴,xy平面为纵向对称平面。9.1工程实际中的弯曲变形问题F挠度和转角符号的规定：挠度：在图示坐标系中,向上为正,向下为负。转角：逆时针转向为正,顺时针转向为负。yxABCw(挠度)C1q(转角)9.1工程实际中的弯曲变形问题F必须注意:梁轴线弯曲成曲线后,在x轴方向也有线位移。9.1工程实际中的弯曲变形问题yxABCw(挠度)C1q(转角)F但在小变形情况下,梁的挠度远

3、小于跨长,横截面形心沿x轴方向的线位移与挠度相比属于高阶微量,可略去不计。挠曲线：梁变形后的轴线称为挠曲线。挠曲线方程:式中,x为梁变形前轴线上任一点的横坐标,w为该点的挠度。yxABCw(挠度)C1q(转角)挠曲线9.1工程实际中的弯曲变形问题F挠度与转角的关系：yxABCw(挠度)C1qq(转角)9.1工程实际中的弯曲变形问题F9.2挠曲线的近似微分方程横力弯曲时,M和都是x的函数。略去剪力对梁的位移的影响,则纯弯曲时曲率与弯矩的关系为由几何关系知,平面曲线的曲率可写作曲线向上凸时：w’’<0,M＜0因此,M与w’’的正负号相同。MMM＜0w’’<0OxyM＞

4、0w’’>0MM曲线向下凸时：w’’>0,M＞0Oxy由于挠曲线是一条非常平坦的曲线,w'2远比1小,可以略去不计,于是上式可写成此式称为梁的挠曲线近似微分方程。(Approximatelydifferentialequationofthedeflectioncurve)称为近似的原因:(1)略去了剪力的影响;(2)略去了w'2项。再积分一次,得挠度方程上式积分一次得转角方程若为等截面直梁,其抗弯刚度EI为一常量,上式可改写成式中：积分常数C1、C2可通过梁挠曲线的边界条件和变形的连续性条件来确定。9.3积分法求弯曲变形简支梁悬臂梁边界条件(boundarycond

5、ition)ABwA＝0wB＝0ABwA＝0qA＝0ABAB连续性条件(Continuitycondition)在挠曲线的任一点上,有唯一的挠度和转角。如:不可能不可能c例1：图示一抗弯刚度为EI的悬臂梁,在自由端受一集中力F作用。试求梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其最大挠度wmax和最大转角max。ABlxxy解：以梁左端A为原点,取直角坐标系,令x轴向右,y轴向上为正。(1)列弯矩方程F(2)列挠曲线近似微分方程并积分(3)确定积分常数代入式(a)和(b),得：C1＝0,C2＝0ABlxxyF在x＝0处,w＝0在x＝0处,q＝0ABlxxyF(4)建立转角方

6、程和挠度方程将求得的积分常数C1和C2代入式(a)和(b),得梁的转角方程和挠度方程分别为：(5)求最大转角和最大挠度自由端B处的转角和挠度绝对值最大。wmaxqmax所得的挠度为负值,说明B点向下移动;转角为负值,说明横截面B沿顺时针转向转动。xlABqFAFB例2:图示一抗弯刚度为EI的简支梁,在全梁上受集度为q的均布荷载作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其最大挠度wmax和最大转角max。xy解:由对称性可知,梁的两个支反力为梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为积分两次xlABqFAFBxy简支梁的边界条件是在x＝0处,w＝0在x＝l处,w＝0代入(

7、c)、(d)式确定出积分常数xlABqFAFBxyABqxyqAqBwmaxl/2由对称性可知,在两端支座x＝0和x＝l处,转角的绝对值相等且都是最大值在梁跨中点l/2处有最大挠度值例3：图示一抗弯刚度为EI的简支梁,在D点处受一集中力F的作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并求其最大挠度和最大转角。xlABFabFAFBD解:求出梁的支反力为将梁分为I和II两段,其弯矩方程分别为III梁段I(0xa)梁段II(axl)两段梁的挠曲线方程分别为积分一次得转角方程再积分一次得挠曲线方程挠曲线方程注意：在对梁段II进行积分运算时,对含有(x-a)的弯矩项不