梁的弯曲变形与刚度(2)

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1、7.7梁的刚度7.7.1梁的刚度条件计算梁的变形的主要目的是为了判别梁的刚度是否足够以及进行梁的设计。工程中梁的刚度主要由梁的最大挠度和最大转角来限定，因此，梁的刚度条件可写为：（7-10）其中，，分别是梁中的最大挠度和最大转角，，分别是许可挠度和许可转角，它们由工程实际情况确定。工程中通常以度（）表示，而许可挠度通常表示为：上述两个刚度条件中，挠度的刚度条件是主要的刚度条件，而转角的刚度条件是次要的刚度条件。7.7.2刚度条件的应用与拉伸压缩及扭转类似，梁的刚度条件有下面三个方面的应用。（1）校核刚度给定了梁的载荷，约束，材料，长度以及截面的几何尺寸等，还给定了梁的许可挠度和许可转角。计算梁

2、的最大挠度和最大转角，判断其是否满足梁的刚度条件式（7-15）和式（7-16），满足则梁在刚度方面是安全的，不满足则不安全。很多时候工程中的梁只要求满足挠度刚度条件式（7-15）即可，而梁的最大转角由于很小，一般情况下不需要校核。（2）计算许可载荷给定了梁的约束，材料，长度以及截面的几何尺寸等，根据梁的挠度刚度条件式（7-15）可确定梁的载荷的上限值。如果还要求转角刚度条件满足的话，可由式（7-16）确定出梁的另一个载荷的上限值，两个载荷上限值中最小的那个就是梁的许可载荷。（3）计算许可截面尺寸给定了梁的载荷，约束，材料以及长度等，根据梁的挠度刚度条件式（7-15）可确定梁的截面尺寸的下限值。

3、如果还要求转角刚度条件满足的话，可由式（7-16）确定出梁的另一个截面尺寸的下限值，两个截面尺寸下限值中最大的那个就是梁的许可截面尺寸。例7-21如图7-41（a）所示的梁，其长度为，抗弯刚度为，当梁的最大挠度不超过梁长的时，试确定梁的许可载荷。(a)(b)(c)图7-41例7-21图解：原梁根据图7-41（b）所示的变形过程，等价于图7-41（c）所示的悬臂梁。梁的最大挠度在自由端处，也就是原梁的最大挠度在点，为：根据刚度条件有：所以得：故梁的许可载荷为：7.7.1提高梁刚度的方法如前所述，梁的变形与梁的弯矩及抗弯刚度有关，而且与梁的支承形式及跨度有关。如图7-42所示。所以，在梁的设计中，

4、当一些因素确定后，可根据情况调整其它一些因素以达到提高梁的刚度的目的，具体方法如下：图7-42影响梁变形的因素支承形式载荷形式与大小梁长抗弯刚度（1）调整载荷的位置，方向和形式目的是降低梁的弯矩，这与提高梁的强度的方法相同。（2）调整约束位置，加强约束或增加约束梁的变形通常与梁的跨度的高次方成正比，因此，减小梁的跨度是降低变形的有效途径。，如图7-43（a）所示，工程中常采用调整梁的约束位置或增加约束来减小梁的跨度（图7-43（b），（c）），还可以加强梁的约束减小梁的最大挠度（图7-43（d））。(a)(b)(c)(d)图7-43提高梁的刚度的措施（3）提高梁的抗弯刚度选用弹性模量大的材料可

5、提高梁的刚度，但采用此种方法是不经济的，即弹性模量大的材料价格较高。选择合理的截面形状可提高梁的刚度，如采用工字形，箱形或空心截面等，增加截面对中性轴的惯性矩，既提高梁的强度也增加梁的刚度。但必须指出：小范围内改变梁截面的惯性矩，对全梁的刚度影响很小，因为梁的变形是梁的各段变形累积而成，但此种情况对梁的强度影响很大。7.8梁的简单超静定问题如果梁弯曲时，仅由平衡方程无法求出梁的支反力，或由截面法无法求出梁的内力，则这种问题称为梁的超静定问题，相应的梁称为超静定梁。如果平衡方程比未知数（可以是支反力，内力或梁的几何尺寸）少一个，则称为一次超静定问题或简单超静定问题；少个则称为次超静定问题，相应的

6、梁称为一次超静定梁或次超静定梁。典型的超静定梁如图7-44各图所示。(a)(b)(c)(d)图7-44梁的简单超静定问题(e)(f)显然，梁的超静定问题关键是求出梁的支反力或内力，从而就可以按照前述过程计算梁的应力和强度或者计算梁的变形和刚度。7.8.1简单超静定梁问题的解法超静定梁的典型特征是约束过度，这种过度约束有可能是外部的（图7-44（a）~（d）），也有可能是内部的（图7-44（e）（f））。过度的约束称为多余约束，如图7-45所示，一次超静定梁通常有一个多余约束，而次超静定梁通常有个多余约束。(a)一次超静定梁图7-45超静定梁的多余约束多余约束多余约束多余约束多余约束(b)二次超

7、静定梁(c)三次超静定梁梁的超静定问题的解法与拉压及扭转超静定问题的解法类似，即：（a）列出梁的整体（或部分）平衡方程，判别梁是否是超静定梁以及其超静定次数。（b）在多余约束处列出梁的变形协调方程。（c）在多余约束处列出梁的物理方程。（d）将物理方程代入协调方程得到补充方程，即可求解多余约束处的反力（或内力）。一旦梁的内力求出后，即可按梁的正常过程计算梁的应力和变形，从而可解决超静定梁的强度和刚度