地转效应对非线性表面波影响

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1、内蒙古大学硕士学位论文第一章引言§１．１表面波研究进展表面波是最普遍的海洋现象之一，从ｓｔｏｋｅｓ【１ｌ、Ｂｏｕｓｓｉｎｅｓｑｉ２］、Ｒａｙｌｅｉｇｈ［３］和Ｋｏｒｔｅｗｅｇ＆ｄｅｖｈｅｓ【４】等开创性工作开始，人们已系统研究了表面波，提出了许多理论．对浅水情形，有描述二维波的Ｂｏｕｓｓｉｎｅｓｑ方程（见文献【２】＇【５１）、描述单向传播波的ＫｄＶ方程（见文献｜４】，【５】）、描述弱二维波的ＫＰ方程（见文献【６】，【５１）等．除此之外，Ｋａｌ【ｕｔａｎｉ【。刁利用摄动方法研究了浅水情形下的不规则底地形对表面长

2、重力波的影响，且当底面简化为平底时所得方程即为典型的ＫｄＶ方程．对深水情形，有非常著名的Ｓｔｏｋｅｓ波理论（见文献【１】）等．对有限水深情形，Ｍａｔｓｕｎｏｆ８】利用复变函数理论导出了有限振幅表面重力波一类新的非线性演化方程等．与以前关于表面波的渐进演化方程相比，Ｍａｔｓｕｎｏ【８ｌ所得方程没有浅水长波限制，可以表示为一个关于波面位移的方程．后来，Ｍａｔｓｕｎｏｆ９】利用复变函数理论导出了任意深度流体中一组类似于ＫＰ方程的弱二维表面波演化方程，与ＫＰ方程相比，Ｍａｔｓｕｎｏ［９］后ｆｉ方程对任意水深都成立，且

3、ＫＰ方程为其特例．Ｍａｔｓｕｎｏ［１０］还给出了底面不规则情形下表面重力波非线性演化方程，该方程同样没有浅水长波限制，因而对任意水深均适用．利用傅里叶变换方法Ｃｈｏｉ［１１］将Ｍａｔｓｕｎｏ［８］的有限水深一维表面重力波推广到二维表面重力波，并且考虑了作用在自由表面上的压力和表面张力．Ｄｙａｃｈｅｎｋｏ［１２］等利用保角变换方法和Ｈａｍｉｌｔｏｎｉａｎ方程，得到了一组关于深水表面波的积分．微分方程形式的演化方程，该方程包含Ｈｉｌｂｅｒｔ变换，形式上更为简单，可精确地描述自由波随时间的演化．Ｄｙａｃｈｅｎｋｏ［

4、１３１等又将其深水自由表面重力波的情形推广到有限水深情形．Ｃｈｏｉ和Ｃａｍ－ａｓｓａ【１４】又将Ｄｙａｃｈｅｎｋｏ等【ｌ２】，【ｌ３】的结果推广到自由表面毛细重力波情形，同时还指出，对于定常波问题，他们所得到的方程又可以分别简化为Ｂｙｔｔ．Ｓｎｌｉｓｈ【ｌ５】、Ｓｄｌｗａｒｚ【１６］、Ｃｏｋｅｌｅ－ｔ１１７］、Ｖａｎｄｅｎ－Ｂｒｏｅｃｋ等１１８】利用经典保角变换方法所得到的方程（见文献ｆ１９】）．Ｓｏｎｇ等【２０】利用有限水深水波方程的二阶随机波解，采用特征函数展开的方法得到了波面位移的统计分布．Ｓｏｎｇ等【

5、２ｌ】又得到了两点波面位移的联合统计分布．§１．２选题背景及论文结构在地球物理流体力学中，人们更多的是要考虑地转效应对波动的影响，其数学上表现为在流体力学Ｎａ访ｅｒ－Ｓｔｏｋｅｓ方程中出现额外的加速度项２矗×才，其中矗：Ｑ（ｏ，ｃｏｓ０，ｓｉｎ口）为Ｃｏｒｉ０１ｉｓ矢量，才＝（钍，口，叫）是三维速度矢量．Ｑ是地球旋转角速度，口是纬度，引入地转效应无疑增加了方程的复杂程度，传统的方法是省略地球旋转水平分引言量（出现在运动方程的纬向和垂直分量上），但这种方法在动力学上一直存在争议（见文献［２０，２６，２７，２８】

6、）．近年来，人们越来越重视地转水平分量的作用，Ｗｈｉｔｅ纠ｎ９】和Ｂｕｒｇｅｒ通过对纬向动量平衡的尺度分析表明，对于行星尺度的大气运动，保留地转水平分量是可取的．可以证明在大尺度（特征尺度Ｌ＝１０６ｍ，Ｕ＝１０ｍ．８－１和Ｈ＝１０４ｍ）中，２１２ｕｃｏｓ０＞磐．因此，地转水平分量代表非常重要的非静力效应．此外，孙孚［鲫依据，平面近似下线化无粘流体运动方程的一般形式，考虑地转水平分量的作用，首次给出了真正地转意义下均匀水底上的小振幅波动解．赵强，刘式适【３ｌ】也研究了地转水平分量对ｍ瑚ｂｙ波的影响．本文针对无粘

7、、不可压缩流体，考虑完整地转效应，从流体力学基本方程组出发，利用摄动展开法寻找地转条件下线性及非线性表面波的谐波解．寻找谐波解的好处是能够将方程组中的偏微分方程转化为常微分方程，利用常微分有关知识即可求解．论文最后对所得结果进行了简要分析．本文共分为四章．第一章是引言，介绍了表面波的研究进展和选题背景．第二章是流体力学基本方程和边界条件，主要是用Ｒｏｓ８ｂｙ数将地转条件下的运动方程和连续方程连同边界条件无量纲化，并得到了地转条件下表面波的￡ｏ阶项和￡１阶项的控制方程组．第三章主要计算地转条件下线性表面波的解，

8、并给出了频散关系，简要论证了地转效应对表面波的影响．第四章主要计算了地转条件下非线性表面波的解．２内蒙古大学硕士学位论文第二章§２．１基本方程和边界条件流体动力学基本方程流体动力学基本方程包括连续方程和运动方程，它们是建立波动方程的基础．连续方程【２２】为害＋Ｖ．∞才）＝ｏ其中Ｐ，寸分别表示流体的密度和速度．当流体不可压缩时，连续方程变为Ｖ．（才）＝０考虑地转效应，其运动方程【２３】为纠等＋２矗×韧