数学人教版八年级下册勾股定理小结与复习

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1、第十七章勾股定理小结与复习知识梳理1.勾股定理（1）内容：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么________，即直角三角形两直角边的_________等于斜边的________.（2）表示方法：在Rt△ABC中，∠C=90°，则a2+b2=c2.温馨提示：①勾股定理揭示的是直角三角形三边的平方关系；②勾股定理只对直角三角形适用，而不适用于锐角三角形和钝角三角形.（3）应用：已知直角三角形的任意两边，能求出第三边.2.勾股定理的逆定理（1）内容：如果三角形的三边长a，b，c满足________，那么这个三角形是直角三角形.（2）应

2、用：判断某三角形是否为直角三角形或说明两条线段垂直.3.如果两个命题的题设、结论正好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的_______.一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称这两个定理互为_________.考点呈现考点1勾股定理图1例1如图1，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC，则△ABC中BC边上的高是___________.解析：由题意知，B，C分别为EF，FD的中点，所以S△ABC=S正方形AEFD﹣S△AEB﹣S△BFC

3、﹣S△CDA=2×2---=.又BC=，所以△ABC中BC边上的高是．故填或．CBA图2考点2勾股定理的逆定理例2如图2，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（）A．90°B．60°C．45°D．30°解析：连接AC，因为每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，所以分别由勾股定理求得AC2＝5，BC2＝5，所以AC＝BC.又AB2＝10，所以AC2+BC2＝AB2，所以△ABC是等腰直角三角形，所以∠ABC＝45°，故选C.考点3勾股定理的实际应用例3如图3，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与

4、环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（）A．600mB．500mC．400mD．300m图3解析：因为BC∥AD，所以∠DAE=∠ACB.因为BC⊥AB，DE⊥AC，所以∠ABC=∠DEA=90°.又AB=DE=400，所以△ABC≌△DEA.所以EA=BC=300.在Rt△ABC中，AC=，所以CE=AC﹣AE=200.从B到E有两种走法：①BA+AE=700；②BC+CE=500.所以最近的路程是500m．故选B．考点4确定最短线路例4如图4，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm

5、，若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为＿＿＿＿＿cm；如果从P点开始经过4个侧面绕n圈到达Q点，那么所爬行的最短路径长为＿＿＿＿＿cm.图4图5分析：这是求立体图形上两点间的最短路线问题，需要将立体图形展开，转化为平面图形，然后利用两点之间线段最短求解．解：如图5是长方体的侧面展开图，其中OP=4×2+2×2=12，OQ=5．在Rt△OPQ中，由勾股定理，得PQ===13(cm)；如果从P点开始经过4个侧面绕n圈到达Q点，则OP=（4×2+2×2）n=12n.在Rt△OPQ中，由勾股定理，得PQ==（cm）.故填

6、13，.误区点拨一、错在添加条件例1在△ABC中，三边的长分别为a，b，c，且a=3，b=4，c为质数，求c.错解:由勾股定理，得剖析:因△ABC是一般三角形，故不能用勾股定理来解，只能根据三角形的三边关系定理来解.只有在直角三角形中，勾股定理才是成立的.造成错解的原因是受“勾3股4弦5”思维定势的影响.正解：由三角形的三边关系定理，得b-a＜c＜b+a，即4-3＜c＜4+3，则1＜c＜7.因为c为质数，所以c=2，或c=3，或c=5.二、未弄清最大边，出现错判例2△ABC中，已知a=n2-1,b=n2+1,c=2n(n＞1)，试判断△ABC是否为直

7、角三角形.错解:因为a2+b2=（n2-1）2+（n2+1）2=n4-2n2+1+n4+2n2+1=2n4+2,而c2=(2n)2=4n2,所以a2+b2≠c2.故这个三角形不是直角三角形.剖析：错因在于没有弄清楚哪条边是最大边,只是简单地考查了其中两边的平方和是否等于第三边的平方就得出结论.在运用勾股定理的逆定理判断能否组成直角三角形时,应先确定最大边,再考查最大边的平方是否等于其他两边的平方和.正解:因为n＞1，所以b＞a，b＞c.又a2+c2=（n2-1）2+(2n)2=n4+2n2+1，b2=（n2+1）2=n4+2n2+1，所以a2+c2=

8、b2.故△ABC是直角三角形,且∠B=90°.三、忽视分类讨论，出现漏解例3等腰三角形中，一边长是6，另一边