第十章材料力学吉林大学

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1、第十章能量法§1概述§2杆件变形能的计算*§7虚功原理§3单位载荷法莫尔积分§4计算莫尔积分的图乘法§5卡氏定理§6互等定理§10.1概述一.问题的提出FAFqMeFDMeFABC？任意结构任意截面任意方向的位移任意载荷基本方程法---平衡、几何、物理能量法二.能量法的依据FUW略其他能量损失,由能量守恒而且也可导出适用于非线弹性和塑性问题的计算方法.本教材以线弹性材料为主.U=W（功能原理）能量法§10.2杆件变形能计算一.杆件基本变形的变形能U=W线弹性FF特殊情况FFMeMeMM广义表达式内力22刚度l注意：当内力或刚度发生变化时要用积分或分段计算F

2、二.U的特点1.3.U的大小与加载的次序无关,仅取决于载荷或位移的最终值U不能用叠加法计算2.U>0恒正=4.三.变形能的普遍表达式--克拉贝依隆原理F线弹性范围内...F1F2F3dx四.组合变形杆件变形能的计算M(x)FN(x)Mx(x)在组合变形杆件中取微段dx内力对微段可看作外力有FN(x)Mx(x)M(x)设材料在线弹性范围内dU=dWdx四.组合变形杆件变形能的计算M(x)FN(x)Mx(x)在组合变形杆件中取微段dx内力对微段可看作外力有FN(x)Mx(x)M(x)设材料在线弹性范围内dU=dW而必须强调FF只适用于线弹性结构对非线性材料U=

3、W=曲线下的面积可利用积分计算面积=底高未作特殊说明,均假定材料在线弹性范围内例10.2已知dFEG求fc=?FABC2aa解FABC2aax2x1U=W（功能原理）一个做功力作用点作用方向该力位移？任意结构任意截面任意方向的位移任意载荷？U=W（功能原理）方法§10.3单位载荷法•莫尔积分问题：以平面刚架为例，求任意截面任意方向的位移△（A点沿a-a方向）AF•Meaa•D若不计轴力、剪力影响，线弹性结构在A截面a-a方向加单位力1aaA1•aAMe•DF方法一F、Me、1同时作用后加F、Me方法二AMeFaa•1•D先加1，dxEIxMxMlò=D)(

4、)(——莫尔积分1.单位力法适用于线性与非线性结构2.结果为正,说明方向设对,位移沿单位力方向,反之相反要点:ÞdxEIxMxMlò=D)()(ÞÞ扭转(圆轴)拉(压)弯曲组合变形下莫尔积分为注意在每一段中必须具有同一坐标原点2.相同段内,相同面的相同种类的内力才能互乘3.GIP仅对圆轴而言,对非圆IP对应It4.对小曲率的曲杆,直杆公式仍可用1.载荷引起的内力FN,M,Mx单位力引起的内力FN,M,Mx例10.4已知q，EI=C解：①求fc注意:M.M的区域不一样,应分段积分,但该梁具有对称性ql)0(22)(lxqxxxM££-=2q求:fcθΑ)0(

5、21)(2lxxxM££=LxAB。。qc1xA。。1c)(38454¯=EIql)()(=D=òdxEIxMxMfc2)22(2220-òdxxqxxqlEIl=②求θA。。A。1LxAB。。qcx)0(1)(lxlxM££-=ql)0(22)(lxqxxxM££-=2)(ò=D=AdxEIxMMql)1)(22(102ò--ldxlxqxxqlEI=)(243-=EIqlCAFMeDBq求fB=?ACDB1§10.4计算莫尔积分的图形互乘法一.积分计算的简化在数学里:若函数F(x).f(x)中只要有一个是线性函数,上式积分总可以得到大大简化,即可把积分

6、运算化成代数运算。莫尔积分MxlM.cxdxxcM(x)(x)Mo若需要分段,则:载荷引起内力图的形心对应单位力的值。载荷引起内力图的面积。对等直杆轴的拉压：对桁架（多杆）：对圆轴扭转:对圆截面杆的组合变形:是同一段内.同一平面内的相同的内力引起的内力图的面积乘以该图形心对应单位力图的值。必须注意:三.几点说明同侧互乘为正,异侧互乘为负,得正说明位移方向同单位力方向。2.分段原则有正负有折点不等3.位移是载荷的线性函数,可采取分段,分块叠加的方法计算。4.若均为线性,可互换,即:(见例10—14)需要记忆的特殊图形的面积和形心位置:(b)直角三角形hc(a

7、)矩形顶点(c)二次抛物线顶点(d)二次抛物线bh例10—7已知刚架(不计FN、FQ影响),求解:利用图乘法,作载荷作用下的弯矩图M,求在A点加单位力,作图BA求B,在B截面加单位力偶BAB讨论:考虑轴力时,给出具体数据可知,在同一杆上有M,FQ,FN时,轴力引起的弯曲变形是非常小的,故一般情况下(不特别指出时)均略去不计。GMe解:在A点加单位力偶，求A作M、图。Me/2Me/2C1C2MC1MC2A()Me例10-8用图乘法求fC`A。解:作M图,求fC在C点加单位力,作图。求A在A点加单位力偶作图例10-9求A在截面A上作用一单位力偶矩,

8、并作出单位力偶矩作用下的弯矩利用图乘法aa2aABCDq已知:EI