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1、第三节一、平面的点法式方程二、平面的一般方程机动目录上页下页返回结束平面及其方程第八章三、平面的截距式方程四、特殊的平面方程①一、平面的点法式方程设一平面通过已知点且垂直于非零称①式为平面的点法式方程,求该平面的方程.法向量.向量则有故机动目录上页下页返回结束例1.求过三点即解:取该平面的法向量为的平面的方程.得平面的方程机动目录上页下页返回结束点法向量二、平面的一般方程设有三元一次方程以上两式相减,得平面的点法式方程此方程称为平面的一般任取一组满足上述方程的数则显然方程②与此点法式方程等价,②的平面,因此方程②的图形是
2、法向量为方程.平面的一般式方程:注：该平面的法向量为即所求平面方程为解法向量可取为例2求通过点)1,1,1(,且垂直于平面7=+-zyx和051223=+-+zyx的平面方程.n点法向量法向量平面法向量在平面上取一点,则P0到平面的距离为证点),,(0000zyxP到平面ByAx+0=++DCz的距离定理点),,(0000zyxP,平面ByAx+0=++DCz例3求点到平面的距离解设则例4研究以下各组平面的位置关系：解∥故两平面斜交故两平面平行.故两平面垂直.0,=21nn三、平面的截距式方程此平面就是过点P(a,0,0),Q(0
3、,b,0),R(0,0,c)的平面.(其中a、b、c称为平面在x、y、z轴上的截距.)注:利用截距式方程可方便地画出平面的图形.推导：PQPR法向量n=PQPR×此平面方程为即点法向量例5求平行于平面6x+y+6z+5=0且与三个坐标面围成的四面体体积为1的平面方程.设所求平面方程为解即由题设,得于是,故所求平面方程为四、特殊平面的方程Ax+By+Cz=01.通过原点的平面By+Cz+D=02.平行于坐标轴的平面Ax+Cz+D=0机动目录上页下页返回结束(D=0):∥x轴的平面(A=0):∥y轴的平面(B=0):∥z轴的平面(c=
4、0):Ax+By+D=0A=0ni问：过三条坐标轴的平面方程分别是？Cz+D=0机动目录上页下页返回结束3.平行于坐标面的平面平行于xoy面的平面:平行于yoz面的平面:Ax+D=0平行于xoz面的平面:By+D=0特别地：yoz面:x=0xoy面:z=0xoz面:y=0例6.求通过x轴和点M(4,–3,–1)的平面方程.解:法一：因平面通过x轴,设所求平面方程为代入已知点得化简,得所求平面方程机动目录上页下页返回结束所求平面的法向量可取为故所求平面方程为:法二：ni即小结一、平面方程2.一般式1.点法式3.截距式二、平面一般式方
5、程的几种特殊情形2.在的前提下,方程中缺哪一个变量,平面就平行于相应的那根坐标轴.3.在的前提下,方程中缺哪一个变量,平面就通过相应的那根坐标轴.4.在的前提下,方程中缺哪两个变量,平面就平行于相应的那个坐标面.1.常数项D=0,则平面通过原点.四、点到平面的距离公式三、平面与平面之间的位置关系平面平面习题P251,2,3,8(1)(3),9.因此有例1.一平面通过两点垂直于平面∏:x+y+z=0,求其方程.解:设所求平面的法向量为即的法向量约去C,得即和则所求平面故方程为且机动目录上页下页返回结束备用题例2.求平行于y轴且经过点
6、A(1,2,3)与B(2,0,-1)解所求平面的法向量可取为故所求平面方程为即nABj的平面方程.点法向量五、两平面的夹角(不讲)两平面法向量的夹角θ(为锐角)，称为两平面的夹角设则特别地,例8研究以下各组平面的位置关系：解故两平面相交,夹角为故两平面平行.故两平面垂直.0,=21nn平面夹角θ,
