《D83复合求导》PPT课件

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1、一元复合函数求导法则本节内容:一、复合函数链式微分法及全微分形式不变性微分法则机动目录上页下页返回结束第三节多元函数微分法二、隐函数微分法1、多元复合函数求导的链式法则定理1若函数u(t),v(t))在t处可导,zf(u,v)在(u,v)处偏导连续,则zf((t),(t))在点t可导,且(链式法则)机动目录上页下页返回结束推广：中间变量是多元函数的情形则机动目录上页下页返回结束而可见x同时是直接变量和间接变量时与不同。注意点：自变量既是直接变量也是间接变量时符号的理解和使用。如则设x=3t,y=4t3,求练习(p.

2、97,ex.1(4),1(7)x=g(t),y=h(t),f,g,h均可微，求1(4)1(7)解：1(4)xg(t),yh(t),f,g,h均可微，求1(7)解：1(7)wxyx其中具有二阶导数，求解：令uy/x,v2xy,则zy(u)+lnv,所以例6设例7设z=f(x+y,xy2),其中f具有二阶连续偏导数，求解：则zf(u,v),所以vxyxfu,fu,fv(二阶偏导连续)令ux+y,vxy2,2、微分形式不变性可微，且其全微分无论u,v是自变量还是中间变量,全微分形式不变性。则设函数都可微,机动目录上

3、页下页返回结束例8利用微分形式不变性计算全导数机动目录上页下页返回结束第八章机动目录上页下页返回结束1方程何时确定隐函数及隐函数如何求导2方程组何时确定隐函数及隐函数如何求导二隐函数微分法如:F(x,y)0在点P0(x0,y0)附近能否确定一个函数yf(x),如何计算f´(x)?1、一个方程所确定的隐函数及其导数则方程F(x,y)0在x0的某邻域内可唯一确定一个单值连续函数yf(x),满足条件y0f(x0),并有连续导数及(隐函数求导公式)定理2设①具有连续的偏导数;在点的某一邻域内满足②③机动目录上页下页返回结束两边对

4、x求导在(x0,y0)的某邻域内则机动目录上页下页返回结束例9*验证方程在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数解:令连续,由隐函数存在定理知,确定可导的隐函数则在x0的邻域内方程可且机动目录上页下页返回结束并求式(1)两边对x求导,得式(2)再对x求导,得隐函数求导的另一方法——方程两边求导机动目录上页下页返回结束(2)(1)将x0代入从得得y0，进而得两边对x求偏导得则机动目录上页下页返回结束若zf(x,y)是由方程F(x,y,z)0在点P(x0,y0,z0)附近确定的隐函数，问题：考察方程F(x,y,z)0确

5、定隐函数zz(x,y)推论1的某邻域内具有连续偏导数,则方程在点并有连续偏导数定一个单值连续函数z=f(x,y),满足①在点若函数满足:②③某一邻域内可唯一确机动目录上页下页返回结束例10*设思考题设F(x,y)有连续偏导数,已知方程例10*设解法利用隐函数求导法机动目录上页下页返回结束再对x求导即对方程两边求微分:解：利用微分形式不变性。机动目录上页下页返回结束思考题设F(x,y)有连续偏导数,已知方程2、方程组所确定的隐函数组及其导数隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.由F、G的偏导数组成的行列式称为F、G的关于u,v的

6、雅可比(Jacobi)行列式.以两个方程确定两个隐函数为例,即雅可比目录上页下页返回结束推论2的某一邻域内具有连续偏设函数则方程组③的单值连续函数①在点②的某一邻域内可唯一确定一组满足条件满足:导数；机动目录上页下页返回结束例11*设解:对方程组两边微分,利用微分的形式不变性,求机动目录上页下页返回结束由消元法，x(1)y(2),x(2)y(2)，依次得得du,dv的方程组(1)(2)由此可即得待求偏导数。分别由下列两式确定:又函数有连续的一阶偏导数,1.设(2001考研)2.设是由方程和所确定的函数,求(99考研)机

7、动目录上页下页返回结束备用题一解:两个隐函数方程两边对x求导,得备用题分别由下列两式确定:又函数有连续的一阶偏导数,1.设(2001考研)机动目录上页下页返回结束解得因此2.设是由方程和所确定的函数,求解法1分别在各方程两端对x求导,得(99考研)机动目录上页下页返回结束解法2微分法.对各方程两边分别求微分:化简得消去机动目录上页下页返回结束可得备用题二解:由两边对x求导,得机动目录上页下页返回结束1.已知,求求2.在点处可微,且设函数(2001考研)2.求在点处可微,且设函数解:由题设(2001考研)机动目录上页下页返回结束