《平面方程教学》ppt课件

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1、第四节平面方程一、平面的方程二、点到平面的距离三、两平面的夹角一、平面的方程法向量：如果一个非零向量垂直于一平面，这向量称为该平面的法向量。★基本结论：一个平面有无数多个法向量；平面上任意向量都与该平面的法向量垂直。在空间解析几何中，确定平面的基本条件是：平面过一定点且与定向量垂直。问题：1平面的点法式方程OxyzπM0n设M（x，y，z）是平面π上任一点，M那么向量所以它们的数量积为零，即由于n={A，B，C}，并且故有设平面π过点M0（x0，y0，z0），向量n={A，B，C}(A,B,C不全为零）是它的一个法向量，如下图所示，求此平面的方程

2、。例1求过点（2,-3,0），且有法向量n={1,-2,3}的平面方程。解：根据平面的点法式方程，可得所求的平面方程为即例2已知一平面过三点P0（5,-4,3)，P1(-2,1,8)和P2（0,1,2)，求这个平面的方程。解：关键在于求出平面的一个法向量。为此作向此为平面的点法式方程。而所以则所求平面的方程为化简为法向量n。量因而可作为所求平面的一个例3求通过三点P1(a,0,0),P2(0,b,0)和P3(0,0,c)的平面方程（其中a,b,c均不为零）。OxyzP1P3P2解：所求平面的法向量为故所求平面的方程为即平面的截距式方程a,b,c分

3、别称为x轴、y轴和z轴上的截距。2平面的一般式方程可由平面的点法式方程推得。{A，B，C}为此平面的一个法向量，且不全为零。★特殊位置平面的方程：（1）若D=0，方程为平面过原点。（2）若C=0，方程为平面的法向量为n={A,B,0}，垂直于Oz轴，因此平面与Oz轴平行。（3）若B=C=0，方程为平面的法向量为n={A,0,0}，与x轴平行，因此平面与坐标面Oyz平行，在x轴上的截距为类似地，可以推知其他情况。★特别地，方程分别表示Oyz，Ozx，Oxy坐标面。例4求通过Oz轴且过点M（2，4，-3）的平面方程。解：由已知，可设平面方程为因为它过

4、M点，所以有代入即得所求平面方程为二、点到平面的距离问题：和平面外一点P0(x0,y0,z0)，求点P0到该平面的距离d.已知平面如下图，P0在该平面内任取一点P1（x1,y1,z1)，P1则d就等于向量在平面的法向量n={A,B,C}上投影的绝对值，nN即θ而因此即这就是空间一点P0到平面的距离公式。例5求点P（-1,-2,1)到平面的距离。解：三、两平面的夹角定义：两平面的夹角为这两平面法向量的夹角θ，如右图所示。π1π2θn1n2θ设两平面π1，π2的方程分别为：于是两平面的法向量分别为：故可得两个结论：例5设平面过点M1（1,1,1)，M

5、2（0,1,-1)，且垂直于平面求此平面方程。解：用待定系数法解决。设所求平面方程为因为M2在平面上，所以有又因为所求平面垂直于平面所以又有联立方程组解得代入所设方程，并消去C（C≠0），得所求平面方程为想一想，还有没有别的解决方法？