《空间平面方程》PPT课件

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1、第五节一、平面的点法式方程二、平面的一般方程三、两平面的夹角平面及其方程一、平面的点法式方程例1.求过三点即解:取该平面的法向量为的平面的方程.利用点法式得平面的方程由平面的点法式方程二、平面的一般方程得平面方程一定是三元一次方程.设有三元一次方程以上两式相减,得平面的点法式方程此方程称为平面的一般任取一组满足上述方程的解则显然方程②与此点法式方程等价,②的平面,因此方程②的图形是法向量为方程.因此三元一次方程一定是平面方程.特殊情形•当D=0时,Ax+By+Cz=0表示通过原点的平面;•当A=0时,By+Cz+D=0平面平行于x轴;•Ax+Cz+D=0表示

2、•Ax+By+D=0表示•Cz+D=0表示•Ax+D=0表示•By+D=0表示平行于y轴的平面;平行于z轴的平面;平行于xoy面的平面;平行于yoz面的平面；平行于zox面的平面.例2.求通过x轴和点(4,–3,–1)的平面方程.解:因平面通过x轴,设所求平面方程为代入已知点得化简,得所求平面方程一定过原点,平面与x轴平行设平面是为将三点坐标代入得解:例3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.设平面与x,y,z三轴分别交于P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)(其中a,b,c不为0),求此平面方程.将代入所设方程得平面的截距式方程abc设平面为由

3、所求平面与已知平面平行得（向量平行的充要条件）解例4:求平行于平面6x+y+6z+5=0而与三个坐标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.化简得令代入体积式所求平面方程为三、两平面的夹角设平面∏1的法向量为平面∏2的法向量为则两平面夹角的余弦为即两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.特别有下列结论：例5.一平面通过两点垂直于平面∏:x+y+z=0,求其方程.解:假设平面有一法向量为和且外一点,求例6.设解:设平面法向量为在平面上取一点是平面到平面的距离d.,则P0到平面的距离为(点到平面的距离公式)内容小结1.平面基本方程:一般式点法式截距式2.平

4、面与平面之间的关系平面平面垂直:平行:夹角公式:课堂习题1.求过点且垂直于二平面和的平面方程.解:已知二平面的法向量为取所求平面的法向量则所求平面方程为化简得