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1、数值分析第6章方程与方程组的迭代解法基本迭代法迭代法的收敛性6.2解线性方程组的迭代法超松弛迭代法6.2线性方程组的迭代法在用直接法解线性方程组时要对系数矩阵不断变换如果方程组的阶数很高,则运算量将会很大并且大量占用计算机资源因此对线性方程组要求找寻更经济、适用的数值解法--------(1)如果能将线性方程组(1)变换为--------(2)显然,(1)式和(2)式同解,我们称(1)(2)等价对线性方程组(2),采用以下步骤:依此类推--------(3)这种方式就称为迭代法,以上过程称为迭代过程迭代法产生一个
2、序列如果其极限存在,即则称迭代法收敛,否则称为发散一、简单迭代法(基本迭代法)设线性方程组(1)的一般形式为依此类推,线性方程组(1)可化为-----(4)--------(5)对(4)作迭代过程则(5)式转化为矩阵形式--------(6)令故迭代过程(6)化为等价线性方程组为--------(7)称(5)式和(7)式为解线性方程组(1)的Jacobi迭代法(J法)例1.用Jacobi迭代法求解方程组,误差不超过1e-4解:依此类推,得方程组满足精度的解为x12迭代次数为12次x4=3.02411.94780.
3、9205d=0.1573x5=3.00031.98401.0010d=0.0914x6=2.99382.00001.0038d=0.0175x7=2.99902.00261.0031d=0.0059x8=3.00022.00060.9998d=0.0040x9=3.00031.99990.9997d=7.3612e-004x10=3.00001.99990.9999d=2.8918e-004x11=3.00002.00001.0000d=1.7669e-004x12=3.00002.00001.0000d=3.0
4、647e-005分析Jacobi迭代法(5)的迭代过程,将(5)式细化考虑迭代式(7)即将上式改为--------(8)--------(9)上式称为Gauss-Seidel迭代法,简称G-S法利用(8)式展开Gauss-Seidel迭代法也可表示成例2.用Gauss-Seidel迭代法求解例1.解:x1=2.50002.09091.2273d=3.4825x2=2.97732.02891.0041d=0.5305x3=3.00981.99680.9959d=0.0465x4=2.99981.99971.0002
5、d=0.0112x5=2.99982.00011.0001d=3.9735e-004x6=3.00002.00001.0000d=1.9555e-004x7=3.00002.00001.0000d=1.1576e-005通过迭代,至第7步得到满足精度的解x7从例1和例2可以看出,Gauss-Seidel迭代法的收敛速度比Jacobi迭代法要高二、迭代法的收敛性设解线性方程组的迭代格式--------(10)--------(11)将(10)与(11)相减,得则因此迭代法收敛的充要条件可转变为定理1.迭代格式(10
6、)收敛的充要条件为--------(12)根据矩阵与其Jordan标准形及特征值的关系,可知即因此定理2.迭代格式(10)收敛的充要条件为--------(13)又因为矩阵的谱半径不超过其任一种算子范数,即于是又可得到定理3.--------(14)且证明:只证(14)式所以--------(14)即(14)可以用来估计迭代法的精度,理论上只要在计算时,迭代终止的条件可以用上式判别例3.判别下列方程组用J法和G-S法求解是否收敛解:(1)求Jacobi法的迭代矩阵因此不能用定理3只能用定理2判断所以即Jaobi迭
7、代法收敛(2)求Gauss-Seidel法的迭代矩阵同样用定理2判断所以Gauss-Seidel迭代法发散在例1和例2中,G-S法收敛速度比J法要高但例3却说明G-S法发散时而J法却收敛因此,不能说G-S法比J法更好另外,给出系数矩阵对角占优线性方程组的一个结论定理4.证:(1)对于Jacobi迭代法,其迭代矩阵为根据定理3Jacobi迭代法收敛(2)对于G—S迭代法,其迭代矩阵为不能使用定理3,而用定理2即从而因此由于可得矛盾由定理2G—S迭代法收敛3解线性方程组的超松弛迭代法超松弛迭代法(简称SOR方法)是高
8、斯-塞德尔方法的一种加速方法，是解大型稀疏矩阵方程组的有效方法之一，设有方程组其中为非奇异矩阵，且设≠0(=1，2，…，n)设已知第次迭代向量，及第k+1次迭代向量的分量要求计算分量首先用迭代法定义辅助量再把取为与某个平均值(即加权平均)，即超松弛迭代公式其中称为松弛因子，或写为显然，当=1时，SOR方法就是高斯-塞德尔迭代法。当时，称为低松弛法，当时，称为高松弛法。例1
