非线性方程组迭代法

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1、第5章非线性方程（组）迭代法第5章非线性方程(组)迭代法内容5.1根的搜索5.2迭代法的构造及收敛性5.3方程求根的牛顿迭代法5.4*非线性方程组的迭代法Renchun-li,XidianUniversityPage31of317/10/20212:43:14上午第5章非线性方程（组）迭代法数学物理中许多问题常归结为求解非线性方程或非线性方程组.例如在最优化问题中，设函数在区间I上严格凸并可微，且，则求其极小点等价于求解方程的根；若是一个非线性函数，则方程是一个非线性方程。若是一个方程组，且其中至少存在一个方程是非线性的，则称方程组

2、是非线性方程组。本章介绍一些常用的求解非线性方程和非线性方程组近似根的迭代方法。§5.1根的搜索n根的存在性：设函数，且，则方程在区间内一定有实根，称为方程的有根区间。n二分法（是搜索方程的根的一种计算简单的方法）。l基本思想：将有根区间用其中点分为两半。Renchun-li,XidianUniversityPage31of317/10/20212:43:14上午第5章非线性方程（组）迭代法如果，记，方程的根；如果，记，方程的根。因此，新的有根区间为，其长度为．对有根区间施行同样的手续，并反复二分下去，得到一系列有根区间其中的长度为

3、：（当时）。上述结果表明，如果二分过程无限地继续下去，这些区间最终必将收缩于的根．只要二分足够多次(即充分大)，就能保证有。显然，当时，满足精度为的要求。Renchun-li,XidianUniversityPage31of317/10/20212:43:14上午第5章非线性方程（组）迭代法§5.2非线性方程的迭代法n5.2.1建立迭代公式l基本思想：将一元方程等价变形为如下不动点方程.(5.2.1)选取一个初始近似解，构造不动点迭代公式求得迭代序列。如果收敛，则极限点是的不动点（即满足），也是的根.几何意义如图Renchun-li

4、,XidianUniversityPage31of317/10/20212:43:14上午第5章非线性方程（组）迭代法例5.2.1用迭代法求方程在区间的实数根，误差不超过。解(1)根的存在唯一性：设，则，又，所以方程在区间内有唯一的实数根．(2)构造迭代公式：将方程等价变形为：，则迭代公式Renchun-li,XidianUniversityPage31of317/10/20212:43:14上午第5章非线性方程（组）迭代法(3)取迭代初始值，迭代结果见表。若取6位有效数字，则与完全相同，这时可近似认为迭代序列已经收敛到了极限点，并

5、将作为方程的近似解.表5.2.101.551.3247611.3572161.3247321.3308671.3247231.3258881.3247241.32494但若对方程做另一种等价变形：，并建立迭代公式.初值仍取，则有.显然，继续迭代下去不收敛，称迭代公式是发散的.Renchun-li,XidianUniversityPage31of317/10/20212:43:14上午第5章非线性方程（组）迭代法n5.2.2迭代的收敛性：考察一般情形下迭代过程收敛的条件.分析：设方程在区间内有根，由微分中值定理，其中是与之间某一点，只

6、要，则。若存在常数L,且，使得都有(5.2.2)则.反复递推有，从而。注意，上述分析实际上要求是上的压缩映像。定理5.2.1若函数，且满足：（1）有，(5.2.3)（2）存在正数，对，有(5.2.4)Renchun-li,XidianUniversityPage31of317/10/20212:43:14上午第5章非线性方程（组）迭代法则有①方程在有唯一不动点；②迭代过程对于任意初值均收敛于；③误差估计式(5.2.5)或证明：①设，由零点定理以及函数的单调性，可知在有唯一不动点；②由于，是压缩映射，由压缩映像原理可得迭代序列收敛于不

7、动点；③由于(5.2.6)据此反复递推得：。从而对任意正整数，有Renchun-li,XidianUniversityPage31of317/10/20212:43:14上午第5章非线性方程（组）迭代法上式中令，注意到即得式(5.2.5).进一步，对任意正整数又有在上式中令知：(5.2.7)由此可见，只要相邻两次计算结果的偏差足够小，即可保证近似值具有足够的精度，因此可以通过检查来判断迭代过程应否终止.实际应用迭代法时，通常在所求根的邻近进行考察，研究所谓局部收敛性.Renchun-li,XidianUniversityPage31

8、of317/10/20212:43:14上午第5章非线性方程（组）迭代法定义5.2.1若存在的某个邻域，使迭代过程对于任意初值均收敛，则称迭代过程在根邻近具有局部收敛性．定理5.2.2（迭代过程局部收敛的一个充分条件）设为方程的根，在