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1、二、微分运算法则三、微分在近似计算中的应用四、微分在估计误差中的应用第五节一、微分的概念函数的微分第二章一、微分的概念引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?设薄片边长为x,面积为A,则面积的增量为线性主部高阶无穷小时为故称为函数在的微分当x在取得增量时,变到边长由其的微分,定义:若函数在点的增量可表示为(A为不依赖于△x的常数)则称函数而称为记作即定理:函数在点可微的充要条件是即在点可微,定理:函数分析:“必要性”在可微,故在点的可导,且在点可微的充要条件是在点处可导,且即反之亦成立。说明:当时,所
2、以当时很小时,有近似公式与是等价无穷小.当微分的几何意义当很小时,则有从而导数也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分,记作记例如,基本初等函数的微分公式(见P116表)又如,二、微分运算法则设u(x),v(x)均可微,则(C为常数)分别可微,的微分为微分形式不变性5.复合函数的微分则复合函数例1.求解:例2.设求解:利用一阶微分形式不变性,有例3.在下列括号中填入适当的函数使等式成立:说明:上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.注意:数学中的反问题往往出现多值性.数学中的反问题往往出现多值性,例如三、微分在近似计算中的应用当
3、很小时,使用原则:特别当很小时,常用近似公式:很小)因为:令得的近似值.解:设取，则例4.求例5.有一批半径为1cm的球,为了提高球面的光洁度,解:已知球体体积为镀铜体积为V在时体积的增量因此每只球需用铜约为(g)用铜多少克.估计一下,每只球需要镀上一层铜,厚度定为0.01cm,*四、微分在估计误差中的应用某量的精确值为A,其近似值为a,称为a的绝对误差称为a的相对误差若称为测量A的绝对误差限称为测量A的相对误差限误差传递公式:P122已知测量误差限为按公式计算y值时的误差故y的绝对误差限约为相对误差限约为若直接测量某量得x,
4、1.设函数的图形如下,试在图中标出的点处的及并说明其正负.课堂练习：2.(1)的近似值.解:3.计算作业P1231;4;3(2),(3),(5),(9);10(1)P1256(1);7;12(1)第二章习题课一、导数和微分的概念及应用二、导数和微分的求法一、导数和微分的概念及应用导数:当时,为右导数当时,为左导数微分:关系:可导可微(思考P125题1)应用:(1)利用导数定义解决的问题(3)微分在近似计算与误差估计中的应用(2)用导数定义求极限1)推出三个最基本的导数公式及求导法则其他由求导法则推出;2)求分段函数在分界点处的
5、导数,及某些特殊函数在特殊点处的导数;3)由导数定义证明一些命题.二、导数和微分的求法1.正确使用导数及微分公式和法则2.熟练掌握求导方法和技巧(1)求分段函数的导数注意讨论界点处左右导数是否存在和相等(2)隐函数求导法对数微分法(3)参数方程求导法极坐标方程求导(4)复合函数求导法(可利用微分形式不变性)转化(5)高阶导数的求法逐次求导归纳;间接求导法;利用莱布尼兹公式.Ex1.设存在,求解:原式=Ex2.若且存在,求解:原式=且联想到凑导数的定义式Ex3.设在处连续,且求解:思考:P125题3设解:又Ex4.所以在处连续.
6、即在处可导.处的连续性及可导性.（P125）Ex5.求螺线在对应于的点处的切线方程.解:化为参数方程当时对应点斜率∴切线方程为求其反函数的导数.解:方法1方法2等式两边同时对求导Ex6.设1.已知求解：因为所以课外练习：方程两边求微分,得已知求解：2.,求解：3.设方程组两边同时对t求导,得解:设求其中f二阶可导.4.
