《ch4傅里叶变换》PPT课件

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1、§4.1信号分解为正交函数矢量正交与正交分解信号正交与正交函数集信号的正交分解第四章傅里叶变换和系统的频域分析一、矢量正交与正交分解矢量正交的定义：指矢量Vx=(vx1,vx2,vx3)与Vy=(vy1,vy2,vy3)的内积为0。即正交矢量集：指由两两正交的矢量组成的矢量集合如三维空间中，以矢量vx=（2，0，0）、vy=（0，2，0）、vz=（0，0，2)所组成的集合就是一个正交矢量集。且完备.矢量A=(2，5，8)表示为A=vx+2.5vy+4vz矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间。二、信号正交与正交函数集1.信号正交：定义

2、在(t1，t2)区间的1(t)和2(t)满足(两函数的内积为0)则称1(t)和2(t)在区间(t1，t2)内正交。2.正交函数集：若n个函数1(t)，2(t)，…，n(t)构成一个函数集，这些函数在区间(t1，t2)内满足则称此函数集为在区间(t1，t2)的正交函数集。3.完备正交函数集：如果在正交函数集{1(t)，2(t)，…，n(t)}之外，不存在函数φ(t)(≠0）满足例如：三角函数集{1，cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…}虚指数函数集{ejnΩt，n=0，±1，±2，…}是两组典型的在区间

3、(t0，t0+T)(T=2π/Ω)上的完备正交函数集。则称此函数集为完备正交函数集。(i=1，2，…，n)三、信号的正交分解设有n个函数1(t)，2(t)，…，n(t)在区间(t1，t2)构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这n个正交函数的线性组合来近似，可表示为f(t)≈C11+C22+…+Cnn如何选择各系数Cj使f(t)与近似函数之间误差在区间(t1，t2)内为最小。通常使误差的方均值(称为均方误差)最小。均方误差为为使上式最小展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不为0，写为即所以系数代入，得最小均方误

4、差（推导过程见教材）在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即n越大，则均方误差越小。当n→∞时（为完备正交函数集），均方误差为零。此时有上式称为(Parseval)巴塞瓦尔公式，表明：在区间(t1,t2)f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的之和。函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和小结函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和巴塞瓦尔能量公式§4.2傅里叶级数傅里叶级数的三角式傅里叶级数的指数形式周期信号的功率一、傅里叶级数的三角形式1.三角函数集在一个周期内是一个完备的正交函数集。由积分可

5、知{1,cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…}2．级数形式系数an,bn称为傅里叶系数注意：an是n的偶函数，bn是n的奇函数设f(t)=f(t+mT)----周期信号、m、T、=2/T满足狄里赫利Dirichlet条件，——称为f(t)的傅里叶级数可分解为如下三角级数其他形式式中，A0=a0上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。A0/2为直流分量A1cos(t+1)称为基波或一次谐波，其角频率与原周期信号相同A2cos(2t+2)称为二次谐波，其频率是基波的2倍可见：An是n的偶函数，n是n的奇函

6、数。an=Ancosn，bn=–Ansinn，n=1,2,…将上式同频率项合并，可写为式中，A0=a0可见：An是n的偶函数，n是n的奇函数。an=Ancosn，bn=–Ansinn，n=1,2,…一般而言：Ancos(nt+n)称为n次谐波。二、波形的对称性与谐波特性1.f(t)为偶函数——对称纵坐标bn=0，展开为余弦级数。2.f(t)为奇函数——对称于原点an=0，展开为正弦级数。例3.f(t)为奇谐函数——f(t)=–f(t±T/2)此时其傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶次谐波分量即a0=a2=…=b2=b

7、4=…=04．f(t)为偶谐函数——f(t)=f(t±T/2)此时其傅里叶级数中只含偶次谐波分量，而不含奇次谐波分量即a1=a3=…=b1=b3=…=0三、傅里叶级数的指数形式三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算系数Fn称为复傅里叶系数利用cosx=(ejx+e–jx)/2可从三角形式推出：推导虚指数函数集{ejnΩt，n=0，±1，±2，…}复杂，因而经常采用指数形式的傅里叶级数。指数形式付氏级数推导上式中第三项的n用–n代换，A–n=An、–n=–n令A0=A0ej0ej0t，0=0所以上式写为：令复数n=0,±1

8、,±2，…表明：任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指数信号之和。F0=A0/2为直流分量。傅里叶系数之间关系n的偶函数：an，An，

9、Fn

10、n的奇函数:bn，n四、周期信号的功率——Parseval等式Par