§7.1 微分方程的基本概念

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1、第十二章常微分方程本章仅研究一元函数的常微分方程.一般形式为:F(x,y,y,…...,y(k))=0单摆运动是数学、力学常引用的动力学系统的典型例子。伽利略早已注意到一个单摆完成一个往复运动所需时间是常数（当摆幅很小时）。他认为这一点对设计新型时钟很有用。惠更斯（1629-1675）的研究给出了无阻尼自由单摆运动的微分方程：是一简谐运动。由于摆动周期与重力加速度有关，则在技术上可通过测量地球的不同地点的单摆周期，来计算该点处的重力加速度，从而推测地球表面的形状。跳伞问题是微分方程中的常见例子。运动员在跳塔上以初速度v0=0下落，所受空气阻力与速度v

2、成正比。设重力加速度为常数，则由牛顿第二定律：（*）（*）是给出了当s=常数时，下降到达时间与v0的关系。若提出到地面的时间，则可以从（*）求出相应的初速度v0。解§12.1微分方程的基本概念解代入初始条件知:故开始制动到列车完全停住共需列车在这段时间内行驶了通解特解初始条件微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.例实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.二、微分方程的定义常微分方程偏常微分方程.微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数.一阶微分方程高阶(n)微分方程分类1:本章仅研究一元函

3、数的常微分方程.分类2:线性与非线性微分方程.分类3:单个微分方程与微分方程组.微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.微分方程的解的分类：三、中心问题----求方程的解(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.解的图象:微分方程的积分曲线.通解的图象:积分曲线族.初始条件:用来确定任意常数的条件.过定点的积分曲线;一阶:二阶:是过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.解所求特解为补充:微分方程的初等解法:初等积分法

4、.求解微分方程求积分(通解可用初等函数或积分表示出来)