§6.5数列的综合应用

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1、§6.5数列的综合应用高效梳理gaoxiaoshuli,课前必读·知识备考●等差、等比交汇，考查数列的综合问题.●以递推关系为背景，考查数列的通项与前n项和.●数列与函数、不等式交汇，考查数列的综合应用.●以实际问题为背景，考查数列的应用.(1)解答数列应用题的步骤①审题——仔细阅读材料，认真理解题意．②建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么．③求解——求出该问题的数学解．④还原——将所求结果还原到原实际问题中(2)数列应用题常见模型①等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加

2、(或减少)的量就是公差．②等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比数列，这个固定的数就是公比．(3)与银行利率相关的几类模型①银行储蓄单利公式利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y＝a(1＋xr)，属于等差模型.②银行储蓄复利公式按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y＝a(1＋r)x，属于等比模型．③产值模型原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间x的总产值y＝N(1＋p)x.(4)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，是随项的变化而变化时，应考虑是an与

3、an＋1的递推关系，还是前n项和Sn与Sn＋1之间的递推关系．(5)分期付款模型设贷款总额为a，年利率为r，等额还款数为b，分n期还完，则b＝a.(5)分期付款模型设贷款总额为a，年利率为r，等额还款数为b，分n期还完，则b＝,考点自测kaodianzice,课前热身·基础备考1．已知等差数列{an}的公差d≠0，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是()答案：B2．已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(b，c)，则ad等于()A．3B．2C．1D．－2答案：B解析：由于a，b，c，d成等比数列，所以有bc＝ad.

4、曲线y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2的顶点为(1,2)，所以b＝1，c＝2，所以ad＝bc＝2.3．数列{an}的通项公式是关于x的不等式x2－x＜nx(n∈N*)的解集中的整数个数，则数列{an}的前n项和Sn＝()答案：C4．某种产品三次调价，单价由原来的每克512元降到216元，则这种产品平均每次降价的百分率为__________．解析：设平均每次降价百分率为x，则512·(1－x)3＝216，∴x＝0.25.答案：25%5．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得解析：设公差为d(d＞0

5、)，则5份分别为20－2d,20－d,20,20＋d,20＋2d，则7(20－2d＋20－d)＝20＋(20＋d)＋(20＋2d)，题型突破tixingtupo,互动探究·方法备考题型一tixingyi,等差数列与等比数列的综合【例1】已知等差数列{an}中，a1＝1，公差d＞0，且a2，a5，a14分别是等比数列{bn}的第二项、第三项、第四项．(1)求{an}、{bn}的通项公式；解析：(1)∵等差数列{an}中的a2，a5，a14分别是等比数列{bn}的第二、三、四项，且a1＝1，∴(1＋d)(1＋13d)＝(1＋4d)2，∴d＝2，an＝2n－1.又

6、∵公比q＝＝3，a2＝b2＝3，∴b1＝1，∴bn＝b1·qn－1＝1·3n－1＝3n－1.故an＝2n－1，bn＝3n－1.创新预测1已知各项均为正数的数列{an}前n项和为Sn，首项为a1，且2，an，Sn成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；解析：(1)由题意知2an＝Sn＋2，an＞0，当n＝1时，2a1＝a1＋2，∴a1＝2.当n≥2时，Sn＝2an－2，Sn－1＝2an－1－2，∴数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列．∴an＝a1·2n－1＝2×2n－1＝2n.题型二tixinger,以递推关系为背景的数列的综合又∵an＋an－1＞0

7、，∴an－an－1＝2(n≥2)，∴数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列，∴an＝3＋2(n－1)＝2n＋1.(3)Tn＝3×21＋5×22＋…＋(2n＋1)·2n＋0，③又2Tn＝0＋3×22＋…＋(2n－1)·2n＋(2n＋1)2n＋1，④④－③得Tn＝－3×21－2(22＋23＋…＋2n)＋(2n＋1)·2n＋1＝－6＋8－2×2n＋1＋(2n＋1)·2n＋1＝(2n－1)2n＋1＋2，∴Tn＝(2n－1)·2n＋1＋2.题型三tixingsan,数列与函数、不等式的综合(2)由(1)得an＝4n－2＝20＋2logabn，∴bn＝a2n－11.

8、结合指数函数的性质，①当