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1、要点梳理1.解答数列应用题的基本步骤(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意.(2)建模——将已知条件翻译成数学（数列）语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征.(3)求解——求出该问题的数学解.(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中.§6.5数列的综合应用基础知识自主学习2.数列应用题常见模型(1)等差模型：如果增加（或减少）的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加（或减少）的量就是公差.(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比.(3)分期付款模型：设贷款总额
2、为a，年利率为r,等额还款数为b,分n期还完，则b=基础自测1.数列{an}是公差不为0的等差数列且a7、a10、a15是等比数列{bn}的连续三项，若等比数列{bn}的首项b1=3,则b2等于（）A.B.5C.2D.解析由条件知=a7·a15,∴（a7+3d）2=a7×(a7+8d),∴9d=2a7，q=∵b1=3，∴b2=b1·q=5.B2.一套共7册的书计划每两年出一册，若出完全部各册书，公元年代之和为13958，则出齐这套书的年份是（）A.1994B.1996C.1998D.2000解析设出齐这套书的年份是x，则（x-12）+(x
3、-10)+(x-8)+…+x=13958,∴7x-=13958,∴x=2000.D3.（2009·四川文，3）等差数列{an}的公差不为零，首项a1=1,a2是a1和a5的等比中项，则数列{an}的前10项之和是（）A.90B.100C.145D.190解析由题意知，（a1+d）2=a1(a1+4d),即+2a1d+d2=+4a1d,∴d=2a1=2.∴S10=10a1+d=10+90=100.B4.有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀
4、死至少需要（）A.6秒B.7秒C.8秒D.9秒解析依题意1+21+22+…+2n-1≥100,∴≥100,∴2n≥101,∴n≥7,即至少需要7秒细菌将病毒全部杀死.B5.已知数列{an}中，a1=2，点（an-1,an）(n＞1且n∈N)满足y=2x-1，则a1+a2+…+a10=.解析∵an=2an-1-1，∴an-1=2(an-1-1),∴{an-1}是等比数列，则an=2n-1+1.∴a1+a2+…+a10=10+(20+21+22+…+29)=10+=1033.1033题型一等差数列与等比数列的综合应用【例1】数列{an}的前n
5、项和记为Sn，a1=1,an+1=2Sn+1(n≥1).（1）求{an}的通项公式；（2）等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且T3=15，又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列，求Tn.S1，n=1，Sn-Sn-1，n≥2.求an.（2）注意等差数列与等比数列之间的相互关系.思维启迪（1）运用公式an=题型分类深度剖析解（1）由an+1=2Sn+1,可得an=2Sn-1+1(n≥2),两式相减得an+1-an=2an,则an+1=3an(n≥2).又a2=2S1+1=3,∴a2=3a1.故{an}是首项为1，公比为3的
6、等比数列，∴an=3n-1.（2）设{bn}的公差为d,由T3=15,b1+b2+b3=15,可得b2=5,故可设b1=5-d,b3=5+d,又a1=1,a2=3,a3=9,由题意可得(5-d+1)(5+d+9)=(5+3)2，解得d1=2,d2=-10.∵等差数列{bn}的各项为正，∴d＞0,∴d=2,b1=3,∴Tn=3n+×2=n2+2n.探究提高对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前n项和；分析等差、等比数列项之间的关系.往往用到转化与化归的思想方法.知能迁移1（2009·全国Ⅰ文，17）设等差数列{
7、an}的前n项和为Sn,公比是正数的等比数列{bn}的前n项和为Tn,已知a1=1,b1=3,a3+b3=17,T3-S3=12,求{an},{bn}的通项公式.解设{an}的公差为d，{bn}的公比为q.由a3+b3=17得1+2d+3q2=17,①由T3-S3=12得q2+q-d=4.②由①、②及q＞0解得q=2,d=2.故所求的通项公式为an=2n-1,bn=3×2n-1.题型二数列与函数的综合应用【例2】（12分）已知f(x)=logax(a＞0且a≠1)，设f(a1),f(a2),…,f(an)(n∈N*)是首项为4，公差为2的
8、等差数列.（1）设a为常数，求证：{an}是等比数列；（2）若bn=anf(an),{bn}的前n项和是Sn,当a=时,求Sn.利用函数的有关知识得出an的表达式，再利用表达式解决其他问题.思
