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《§6.2 二重积分的计算》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§6.2二重积分的计算一、二重积分的几何意义前面我们已经知道：面密度为f(x,y)的平面簿片的质量可以用二重积分表示为：因为被积函数z=f(x,y)在几何上表示一空间曲面，假定z=f(x,y)0且在D上连续，下面我们将说明二重积分在几何上表示以xoy面上的闭区域D为底，以过D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面为侧面，以曲面的体积.这样的空间立体z=f(x,y)为顶的一空间立体称为曲顶柱体.分割求曲顶柱体的体积.的通过分割、作乘积、求和、取极限，可得曲顶柱体的体积就是曲顶柱体的体积.在xoy平面的下方，二重积分的绝对值就是柱体的体积,但此时二重积分的值是负的.而在其余
2、部分的区域是负的，则就等于这些部分区域上曲顶柱体体积的代数和.当f(x,y)0时，二重积分的几何意义当f(x,y)为负时，柱体就如果f(x,y)在D内的某些部分区域是正的，二、直角坐标系中二重积分的计算首先讨论二重积分中积分区域D的表示法1.如果积分区域D可以表示为：［X－型］［X－型］X型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.2.如果积分区域D为：［Y－型］［Y－型］Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.下面我们通过曲顶柱体体积的计算来说明二重积分化为二次积分的方法，在讨论中，假定f(x,y)0，D为X-
3、型.[y1(x0),y2(x0)]为底边，以曲线的曲边梯形，此截面面积为x且平行yoz面的平面截曲顶柱体所得截面面积为任取x[a,b]，过点在[a,b]上任取一点x0作平行于yoz面截曲顶柱体所得截面是一个以区间z=f(x0,y)为曲边应用定积分中计算“已知平行截面面积的立体体积”的方法，得到这个体积的值，就是二重积分的值。因此，二重积分上式右端的积分称为先对y后对x的二次积分，其中括号内的积分是将x看作常数，把f(x,y)看作变量y的函数，其积分结果是x的函数，再对x计算在区间[a,b]上的定积分。先对y后对x的二次积分通常又记为：确定积分顺序时，应注意积分区域D为X
4、-型的特点：［X－型］类似地，当积分区域D为Y-型时，可得公式：确定积分顺序时，应注意积分区域D为Y-型的特点：［Y－型］注：上面的公式当f(x,y)0不满足时，公式亦成立.注1当积分区域D既是X-型又是Y-型区域时，上述两个不同顺序的二次积分的值相等.即注2如果积分区域D既不是X-型又不是Y-型，则可将D分成几部分，使得每个部分是X-型或Y-型。解例1求，其中是由抛物线和所围平面闭区域.两曲线的交点解先画出积分区域D.(1)先对y后对x的二次积分，D应表示为：它既是X-型，又是Y-型.(2)将D作为Y-型区域，D可表示为：1x=y解(1)首先画出积分区域D，作先对x后
5、对y的二次积分.D1D2（2）作先对y后对x的二次积分.因为在[-2,-1]和[-1，2]上边界曲线y(x)表达式不同，必须有直线x=-1将D分成D1和D2两部分，其中注1在二重积分中适当选择积分秩序，积分可以简化.解由于积分无法用初等函数表示出来，所以该积分不能采用先对x后对y的积分顺序.现改为先对y后对x的积分.首先，根据所给积分确定积分区域改变积分顺序时，将D表示为：所以注2在二重积分中适当选择积分先后顺序，对某些积分可以解决“积得出来”与“积不出来”的问题。解积分区域如图例5改变积分的次序.原式11解积分区域如图原式例8求由柱面x2+y2=R2及x2+z2=R2
6、所围成的立体体积.解由对称性知，其体积为第一卦限部分的8倍.解例9求由下列曲面所围成的立体体积,所围立体在面上的投影是所求体积y=x2-11例10解先去掉绝对值符号，如图三、在极坐标系中的计算由二重积分的定义可知；现在用一族同心圆r=常数以及从极点出发的一族射线常数将D划分为任意的n个小闭区域。小闭区域的面积为：设f(x,y)在D上连续，所以二重积分存在，上式两端令这就是直角坐标系的二重积分变换到极坐标系的二重积分的公式。下面研究在极坐标系中，二重积分化为二次积分。1极点在积分区域D的外部时2极点在积分区域D的内部时3极点在积分区域D的边界时极坐标系下区域的面积r=ar
7、oD解注:极坐标系下能解决直角坐标系下某些“积不出来”的二重积分.例1计算，其中D是由中心在原点，半径为a的圆周所围成的闭区域.xyz例2求圆柱体解由于所求立体关于xoy面、zox面对称，其体积为第一卦限部分体积的4倍。第一卦限部分是一个曲顶柱体，其顶为上半球面DR解例3计算二重积分其中积分区域为由对称性解例4计算，其中D为由圆及直线所围成的平面闭区域.解根据对称性有例5求曲线和所围成的图形的面积.在极坐标系下得交点所求面积
