离散数学第七章关系-集合的笛卡尔积集

《离散数学第七章关系-集合的笛卡尔积集》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、目录（集合论）第六章集合（4学时）第七章关系（8学时）第八章函数与集合的势（5学时）第七章关系7.1集合的笛卡尔积集7.2二元关系的基本概念7.3二元关系的性质7.4二元关系的闭包运算7.5等价关系和集合的划分7.6偏序关系和格7.7链与反链7.1集合的笛卡尔积集定义1a和b是两个元素，把a作为第一个元素，把b作为第二个元素，按这个顺序排列的一个二元组叫有序二元组,简称有序对，记为:（a，b）特点：(1)当a≠b时，（a，b）≠（b，a）；(2)两个有序二元组相等，即（a，b）＝（x，y）的充分必要条件是a＝x且b=y。笛

2、卡尔积集定义：设A和B是两个集合，存在一个集合，它的元素是用A中元素为第一元素，B中元素为第二元素构成的有序二元组。称它为集合A和B的笛卡尔积集，记为A×B。即A×B＝{(a,b)│a∊A,b∊B}。例A={1,2}，B={a,b,c},A×B＝{(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c)}笛卡尔RenéDescartes（1596～1650）著名的法国哲学家、数学家、物理学家，解析几何学奠基人之一。在今天，巴黎安葬民族先贤的圣日耳曼圣心堂中，庄重的大理石墓碑上镌刻着“笛卡尔，欧洲文艺复兴以来，

3、第一个为人类争取并保证理性权利的人”。笛卡儿的著作，无论是数学、自然科学，还是哲学，都开创了这些学科的崭新时代。《几何学》是他公开发表的唯一数学著作，虽则只有117页，但它标志着代数与几何的第一次完美结合，使形形色色的代数方程表现为不同的几何图形，许多相当难解的几何题转化为代数题后能轻而易举地找到答案.笛卡尔积集的性质性质1．若A和B有一个是空集，则它们的笛卡尔积集是空集，即Ø×B=A×Ø=Ø性质2．当A≠B，且A和B均不是空集时，有A×B≠B×A性质3．当A，B，C均不是空集时，有(A×B)×C≠A×(B×C)((a,b

4、),c)≠(a,(b,c))尚未定义(a,b,c)例１求证：A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)思路:要分别证明A×(B∪C)⊆(A×B)∪(A×C)(A×B)∪(A×C)⊆A×(B∪C)例１求证：A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)证明：对于任意的x，y，若(x,y)∊A×(B∪C)，即有x∊A且y∊B或C.若y∊B,则(x,y)∊A×B；若y∊C,则(x,y)∊A×C，所以(x,y)∊(A×B)∪(A×C)，故A×(B∪C)⊆(A×B)∪(A×C).对于任意的x，y，若(x,y)∊(A×B)∪(A×C)，即(x,y

5、)∊A×B,或(x,y)∊A×C.若(x,y)∊A×B，则x∊A且y∊B；若(x,y)∊A×C，则x∊A且y∊C。所以x∊A且y∊B∪C,得(x,y)∊A×(B∪C)，故(A×B)∪(A×C)⊆A×(B∪C).综上可知，A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)。例2A，B，C，D为任意集合，判断等式(A∪B)×(C∪D)=(A×C)∪(B×D)是否成立。答：不成立。若A=D=Ø，B=C={a}，则(A∪B)×(C∪D)=B×C={(a,a)}(A×C)∪(B×D)=Ø×Ø=Ø有序n元组定义3一个有序n(n≥3)元组是一个有序

6、二元组，其中第一个元素是一个有序(n-1)元组，记为（a1,a2,…,an-1,an）笛卡尔积集定义4设A1，A2，…，An是n(≥2)个集合，这n个集合的笛卡尔积集记作A1×A2×…×An，即A1×…×An＝{(a1,a2,…,an)│a1∊A1,┅,an∊An}当A1＝A2＝…＝An时,记之为An,即An=A×A×…×A第七章关系7.1集合的笛卡尔积集7.2二元关系的基本概念7.3二元关系的性质7.4二元关系的闭包运算7.5等价关系和集合的划分7.6偏序关系和格7.7链与反链