左孝凌离散数学课件3.4序偶与笛卡尔积-3.5关系及其表示

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1、2021/9/31离散数学(DiscreteMathematics)2021/9/313-4序偶与笛卡尔积一、序偶二、笛卡尔积。1.定义两个元素x,y按给定顺序组成的2元组称为一个序偶（有序对），记作:其中x是它的第一元素，y是它的第二元素。序偶主要用来表示两个个体之间的联系例：平面直角坐标系中的一个点的坐标就构成为一个有序序偶，我们可用表示。，一、序偶(有序2元组)2.序偶的性质如果x≠y,则≠两个序偶相等，=，当且仅当x=u且y=v。注：序偶是有次序的。例：<1，3>和<3，1>是表示平面上两个不同的点

2、，这与集合不同，{1，3}和{3，1}是两个相等的集合。序偶中的两个元素可以相等例：代表一个序偶，而在集合中{x，x}与{x}相同。序偶的概念可以扩展到三元组的情况一、序偶(有序2元组)3.有序３元组:<，z>=4.有序n元组：<,xn>==的充要条件是xi=yi，i=1，2，…，n。注N元组的第一个分量应该是n-1元组<,x3>=≠>序偶中的两个元

3、素可以来自不同集合例：<牛，水>表示牛要喝水因此任给两个集合A和B，我们可以定义一种序偶的集合。一、序偶1.定义：设A和B是任意两个集合，由A中元素作第一元素，B中元素作第二元素构成序偶，所有这样序偶的集合称集合A和B的笛卡尔积或直积。记作AB。即AB={

4、xA∧yB}二、笛卡尔积所以AB表示：来自A的元素与来自B的元素所构成的所有序偶的集合例题若A={，}，B={1，2，3}，求AB，BA，AA，BB以及(AB)(BA)。解：AB={<,1>,<,2>,<,3>,<,1>,<,2>,<,3>}BA={<1,>

5、,<1,>,<2,>,<2,>,<3,>,<3,>}AA={<,>,<,>,<,>,<,>}BB={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<2,3>,<3,1>,<3,2>,<3,3>}(AB)(BA)=注意：1）若A、B均是有限集，

6、A

7、=m，

8、B

9、=n，则

10、AB

11、=mn2）一般，AB与BA不相等，即集合的笛卡尔积运算不满足交换律。反例:A={1},B={2}.AB={<1,2>},BA={<2,1>}.二、笛卡尔积约定：若A=或B=，则AB=，BA=2.n个集合的笛卡尔积：集合A

12、1，A2，…，An，则特别地，二、笛卡尔积例：设A，B，C，D是任意集合，判断下列命题是否正确？(1)ABACBC不正确，当A，BC时，AB=AC=。(2)A-(BC)=(A-B)(A-C)不正确，当A=B={1}，C={2}时，A-(BC)={1}-{<1,2>}={1}，而(A-B)(A-C)={1}=。(3)A=C，B=DAB=CD正确，由定义可以证明，在非空前提下是充要条件。(4)存在集合A使得AAA正确，当A=时，AAA。(5)(AB)C=A(BC)错。当A=B=C={1}.(AB)C={<<

13、1,1>,1>},A(BC)={<1,<1,1>>}.(除非A=B=C=)二、笛卡尔积设x∈A,y∈B,所以∈ABA=C,B=D,所以x∈C,y∈D所以∈CD得证不满足结合律3、笛卡尔积的性质对于任意集合A，A=，A=。笛卡尔积运算不满足交换律，当A，B，AB时ABBA。笛卡尔积运算不满足结合律，即当A，B，C均非空时(AB)CA(BC)。二、笛卡尔积定理1：对任意三个集合A、B、C，有(a)A(BC)=(AB)(AC)(b)A(BC)=(AB)(AC)(c)(BC)

14、A=(BA)(CA)(d)(BC)A=(BA)(CA)由以上两条有：A(BC)(AB)(AC)证明两个集合相等，可以证明它们互相包含。则aA，bBC，即aA，bB，且bC，证明：(b)A(BC)，即AB且AC，有(AB)(AC)，得A(BC)(AB)(AC)(AB)(AC)，则AB且AC，则aA，bB，且aA，bC，则bBC。所以A(BC)，所以(AB)(AC)A