离散数学集合的笛卡儿积与二元关系.ppt

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1、第4章二元关系与函数4.1集合的笛卡儿积与二元关系4.2关系的运算4.3关系的性质4.4关系的闭包4.5等价关系和偏序关系4.6函数的定义和性质4.7函数的复合和反函数14.1集合的笛卡儿积和二元关系有序对笛卡儿积及其性质二元关系的定义二元关系的表示2有序对定义由两个元素x和y，按照一定的顺序组成的二元组称为有序对，记作实例：平面直角坐标系中点的坐标<3,4>有序对性质1）有序性（当xy时）2）与相等的充分必要条件是=x=uy=v例1<2,x+5>=<3y4,y>，求x,y.

2、解3y4=2,x+5=yy=2,x=33有序n元组定义一个有序n(n3)元组是一个有序对，其中第一个元素是一个有序n-1元组，即=<,xn>实例：空间直角坐标系中的坐标<3，5，－6>n维向量是有序n元组.当n=1时,形式上可以看成有序1元组.4笛卡儿积定义设A,B为集合，用A中元素为第一个元素，B中元素为第二个元素，构成有序对.所有这样的有序对组成的集合叫做A与B的笛卡儿积记作AB，即AB={

3、xAyB}例2A={1,2,3},B={a,b,c}

4、AB={<1,a>,<1,b>,<1,c>,<2,a>,<2,b>,<2,c>,<3,a>,<3,b>,<3,c>}BA={,,,,,,,,}A={},P(A)A={<,>,<{},>}5笛卡儿积的性质不适合交换律ABBA(AB,A,B)不适合结合律(AB)CA(BC)(A,B)对于并或交运算满足分配律A(BC)=(AB)(AC)(BC)A=(BA)(CA)A(BC)=(AB)(AC)(B

5、C)A=(BA)(CA)若A或B中有一个为空集，则AB就是空集.A=B=若

6、A

7、=m,

8、B

9、=n,则

10、AB

11、=mn6性质的证明证明A(BC)=(AB)(AC)证任取∈A×(B∪C)x∈A∧y∈B∪Cx∈A∧(y∈B∨y∈C)(x∈A∧y∈B)∨(x∈A∧y∈C)∈A×B∨∈A×C∈(A×B)∪(A×C)所以有A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C).7例题解(1)任取ACxAyCxByDBD例3(1)

12、证明A=BC=DAC=BD(2)AC=BD是否推出A=BC=D?为什么？(2)不一定.反例如下：A={1}，B={2},C=D=,则AC=BD但是AB.8例4(1)证明ABCDACBD(2)ACBD是否推出ABCD解(1)任取ACxAyCxByDBD(2)不一定.反例如下：A={1}，B={2},C=D=9例5设A、B、C、D为任意集合，判断以下等式是否成立，说明为什么。(AB)(CD)=(AC)(BD)(AB)(CD)=(AC)

13、(BD)(A-B)(C-D)=(AC)-(BD)(AB)(CD)=(AC)(BD)解：(1)成立，因为对任意的(AB)(CD)xAByCDxAxByCyDACBD10(2)(AB)(CD)=(AC)(BD)解：不成立，若A=D=B=C={1}则有：(AB)(CD)=BC={<1,1>}(3)(A-B)(C-D)=(AC)-(BD)解：不成立，A=B={1}C={2}D={3}(A-B)(C-D)=(AC)-(BD)={<

14、1,2>}{<1,3>}={<1,2>}(4)(AB)(CD)=(AC)(BD)解：A={1}B=C=D={1}(AB)(CD)={1,1}(AC)(BD)=11设A1,A2,…,An是集合(n≥2),它们的n阶笛卡尔积记作A1A2…An,其中A1A2…An={︱x1A1,x2A2,…,xnAn}.当A1=A2=…=An时，可将它们的n阶笛卡尔积记作An例如：A={a,b},则A3={,,,,,,

15、,b,a>,}12二元关系：集合中两个元素之间的某种