主要内容有序对与笛卡儿积的定义与性质二元关系、从A到B.ppt

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1、主要内容有序对与笛卡儿积的定义与性质二元关系、从A到B的关系、A上的关系关系的表示法：关系表达式、关系矩阵、关系图关系的运算：定义域、值域、域、逆、合成、限制、像、幂关系运算的性质A上关系的自反、反自反、对称、反对称、传递的性质A上关系的自反、对称、传递闭包A上的等价关系、等价类、商集与A的划分A上的偏序关系与偏序集第七章二元关系要求：熟练掌握关系的三种表示法能够判定关系的性质（等价关系或偏序关系）掌握含有关系运算的集合等式掌握等价关系、等价类、商集、划分、哈斯图、偏序集等概念基本运算AB,domR,ranR,fld

2、R,R1,RS,Rn,r(R),s(R),t(R)求等价类和商集A/R给定A的划分，求出所对应的等价关系求偏序集中的极大元、极小元、最大元、最小元、上界、下界、上确界、下确界掌握基本的证明方法证明涉及关系运算的集合等式证明关系的性质、证明关系是等价关系或偏序关系7.1有序对与笛卡儿积一、有序对1．定义由两个元素x和y，按照一定的顺序组成的二元组称为有序对，记作.2．有序对性质（1）有序性（当xy时）（2）与相等的充分必要条件是=x=u

3、y=v.二、笛卡儿积定义:设A,B为集合，A与B的笛卡儿积记作AB，且AB={

4、xAyB}.例：A={1,2,3},B={a,b,c}AB={<1,a>,<1,b>,<1,c>,<2,a>,<2,b>,<2,c>,<3,a>,<3,b>,<3,c>}BA={,,,,,,,,}A={},B=P(A)A={<,>,<{},>}P(A)B=笛卡儿积的性质（1）不适合交换律ABBA(AB,

5、A,B)（2）不适合结合律(AB)CA(BC)(A,B,C)（3）对于并或交运算满足分配律A(BC)=(AB)(AC)(BC)A=(BA)(CA)A(BC)=(AB)(AC)(BC)A=(BA)(CA)（4）若A或B中有一个为空集，则AB就是空集.A=B=（5）若

6、A

7、=m,

8、B

9、=n,则

10、AB

11、=mn证明A(BC)=(AB)(AC)证任取∈A×(B∪C)x∈A∧y∈B∪Cx∈A∧(y∈B∨y∈C)(

12、x∈A∧y∈B)∨(x∈A∧y∈C)∈A×B∨∈A×C∈(A×B)∪(A×C)所以有A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C).例1（1)证明A=B,C=DAC=BD（2）AC=BD是否推出A=B,C=D?为什么？解（1）任取ACxAyCxByDBD（2)不一定.反例如下：A={1}，B={2},C=D=,则AC=BD但是AB.7.2二元关系一、二元关系的定义1．定义：如果一个集合满足以下条件之一：（1）集合非空,且

13、它的元素都是有序对（2）集合是空集则称该集合为一个二元关系,简称为关系，记作R.如果∈R,可记作xRy；如果R,则记作xy2．例：R={<1,2>,},S={<1,2>,a,b}.R是二元关系,当a,b不是有序对时，S不是二元关系根据上面的记法，可以写1R2,aRb,ac等.二、从A到B的关系与A上的关系1．定义：设A,B为集合,A×B的任何子集所定义的二元关系叫做从A到B的二元关系,当A=B时则叫做A上的二元关系.例A={0,1},B={1,2,3},那么R1={<0,2>},R2=A

14、×B,R3=,R4={<0,1>}R1,R2,R3,R4是从A到B的二元关系,R3和R4同时也是A上的二元关系.2.计数

15、A

16、=n,

17、A×A

18、=n2,A×A的子集有个.所以A上有个不同的二元关系.例如

19、A

20、=3,则A上有=512个不同的二元关系.3.A上的重要关系定义：设A为任意集合是A上的关系，称为空关系EA,IA分别称为全域关系与恒等关系EA={

21、x∈A∧y∈A}=A×AIA={

22、x∈A}例如,A={1,2},则EA={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>}IA={<1,1>,<2

23、,2>}特定集合上的小于等于关系LA、整除关系DA、包含关系R定义如下：LA={

24、x,y∈A∧x≤y},这里AR，R为实数集合DB={

25、x,y∈B∧x整除y},这里AZ*,Z*为非0整数集合R={

26、x,y∈A∧xy},这里A是集合族.例如A={1,2,3},B={a,b},则LA={<1,1