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1、第6讲MATLAB符号计算一数学软件数学软件6.1符号计算基础6.2符号导数及其应用6.3符号积分6.1符号计算基础6.1.1符号对象1.建立符号变量和符号常数(1)sym函数sym函数用来建立单个符号量,例如,a=sym('a')建立符号变量a,此后,用户可以在表达式中使用变量a进行各种运算。例6.1考察符号变量和数值变量的差别。在MATLAB命令窗口,输入命令:a=sym('a');b=sym('b');c=sym('c');d=sym('d');%定义4个符号变量w=10;x=5;y=-8;z=11;%定义4个数值
2、变量A=[a,b;c,d]%建立符号矩阵AB=[w,x;y,z]%建立数值矩阵Bdet(A)%计算符号矩阵A的行列式det(B)%计算数值矩阵B的行列式例6.2比较符号常数与数值在代数运算时的差别。在MATLAB命令窗口,输入命令:pi1=sym('pi');k1=sym('8');k2=sym('2');k3=sym('3');%定义符号变量pi2=pi;r1=8;r2=2;r3=3;%定义数值变量sin(pi1/3)%计算符号表达式值sin(pi2/3)%计算数值表达式值sqrt(k1)%计算符号表达式值sqrt(r
3、1)%计算数值表达式值sqrt(k3+sqrt(k2))%计算符号表达式值sqrt(r3+sqrt(r2))%计算数值表达式值(2)syms函数syms函数的一般调用格式为:symsvar1var2…varn函数定义符号变量var1,var2,…,varn等。用这种格式定义符号变量时不要在变量名上加字符分界符('),变量间用空格而不要用逗号分隔。2.建立符号表达式例6.3用两种方法建立符号表达式。在MATLAB窗口,输入命令:U=sym('3*x^2+5*y+2*x*y+6')%定义符号表达式Usymsxy;%建立符号变
4、量x、yV=3*x^2+5*y+2*x*y+6%定义符号表达式V2*U-V+6%求符号表达式的值例6.4计算3阶范得蒙矩阵行列式的值。设A是一个由符号变量a,b,c确定的范得蒙矩阵。命令如下:symsabc;U=[a,b,c];A=[[1,1,1];U;U.^2]%建立范得蒙符号矩阵det(A)%计算A的行列式值例6.5建立x,y的一般二元函数。在MATLAB命令窗口,输入命令:symsxy;f=sym('f(x,y)');6.1.2基本的符号运算1.符号表达式运算(1)符号表达式的四则运算例6.6符号表达式的四则运算示
5、例。在MATLAB命令窗口,输入命令:symsxyz;f=2*x+x^2*x-5*x+x^3%符号表达式的结果为最简形式f=2*x/(5*x)%符号表达式的结果为最简形式f=(x+y)*(x-y)%符号表达式的结果不是x^2-y^2,而是(x+y)*(x-y)(2)因式分解与展开factor(S)对S分解因式,S是符号表达式或符号矩阵。expand(S)对S进行展开,S是符号表达式或符号矩阵。collect(S)对S合并同类项,S是符号表达式或符号矩阵。collect(S,v)对S按变量v合并同类项,S是符号表达式或符号
6、矩阵。例6.7对符号矩阵A的每个元素分解因式。命令如下:symsabxy;A=[2*a^2*b^3*x^2-4*a*b^4*x^3+10*a*b^6*x^4,3*x*y-5*x^2;4,a^3-b^3];factor(A)%对A的每个元素分解因式例6.8计算表达式S的值。命令如下:symsxy;s=(-7*x^2-8*y^2)*(-x^2+3*y^2);expand(s)%对s展开collect(s,x)%对s按变量x合并同类项(无同类项)factor(ans)%对ans分解因式(3)表达式化简MATLAB提供的对符号表
7、达式化简的函数有:simplify(S)应用函数规则对S进行化简。simple(S)调用MATLAB的其他函数对表达式进行综合化简,并显示化简过程。例6.9化简命令如下:symsxy;s=(x^2+y^2)^2+(x^2-y^2)^2;simple(s)%MATLAB自动调用多种函数对s进行化简,并显示每步结果2.符号矩阵运算transpose(S)返回S矩阵的转置矩阵。determ(S)返回S矩阵的行列式值。colspace(S)返回S矩阵列空间的基。[Q,D]=eigensys(S)Q返回S矩阵的特征向量,D返回S矩
8、阵的特征值。6.1.3符号表达式中变量的确定MATLAB中的符号可以表示符号变量和符号常数。findsym可以帮助用户查找一个符号表达式中的的符号变量。该函数的调用格式为:findsym(S,n)函数返回符号表达式S中的n个符号变量,若没有指定n,则返回S中的全部符号变量。在求函数的极限、导数和积分时,如果用户没有明