矢量微积分与matlab基础

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1、第1章矢量微积分与Matlab基础§1.1矢量代数本章并不是要介绍我们所需要的所有数学方法，而是根据学生在初学阶段的需要主要介绍矢量代数及其相关的运算规则。旨在为更好的理解物理学描述物体运动的方式和物理思想奠定基础。另一方面，物理学发展到现在的信息时代，我们认为仅仅掌握普通的数学方法是不够的，无论从掌握基本物理概念，还是从探究式学习的角度，我们认为引入计算机教学是非常必要的。这里，我们把计算机算法作为数学方法的一种补充。但是计算机的方法很多，我们这里只介绍Matlab算法在物理学中的应用。由于该程序非常普及易学

2、，我们只是抛砖引玉式地作一简单介绍，旨在把学生引导到这一探究式学习的道路上来。§1.1.1矢量与矢量代数运算矢量是既有大小也有方向的量。物理学中许多物理量为矢量，比如位移矢量，动量，角动量，力，电场，磁场，……都是矢量。有些物理量为标量，像温度、热容量、能量、质量、时间，…….等等，只有大小而没有方向。标量满足一般的代数关系，而矢量的代数关系是不同于标量的。进一步地，在微分等运算中矢量的表现形式也是与标量很不一样的。因此，有必要关于矢量运算的各种形式作介绍。图1-1表示的位移矢量AB的例子，它只表示物体从A点运

3、动到B点的位置的变化，但是并不能说明物体是从哪条路径从A点到达B点的。所以位移矢量并不包含路径的任何信息。如果物体从某点A到点B，然后又从点B到点C，那么物体运动从点A到点C的净位移是矢量AB和BC的矢量和，如图1-2。图1-1相同起始位置A和B不同路径的位移矢量图1-2（a）矢量AC是矢量AB与BC的矢量和（b）等价的矢量图图1-2中的矢量和关系可以表示为矢量方程hhhsab=+。(0.1.1)矢量加减法运算规则（1）交换律矢量关系见图1-3，而数学表达则为hhhhabba+=+(0.1.2)图1-3两矢量求

4、和可交换顺序（2）结合律其矢量关系见图1-4hhhhhh(abc=abc+)++(+)(0.1.3)图1-4三矢量和的结合律（3）矢量减法hh矢量−b定义为其大小等于矢量b但是方向相反，如图1-5。hh图1-5矢量−b与矢量b图1-6矢量减法用矢量加法表示hh加一矢量−b等价于减去矢量b。所以，定义矢量减法为（见图1-6）hhhhhd=ab=a−+−()b(0.1.4)矢量分量表示hh如果考虑一个在x-y平面的二维矢量a，如图1-7所示。分量a和a分别为矢量a在xxy轴和y轴上的投影。根据三角关系，容易得到aa

5、==cosθ和aasinθ(0.1.5)xyh矢量的大小，也称为矢量的模，记为a≡a，根据三角关系有a22yhaaa=+xy以及tanθ=(0.1.6)图1-7(a)矢量a的分量ax和ay；ax（b）分量的合成。三维笛卡尔坐标下矢量的分量表示图1-8三维矢量图。单位矢量iˆ、ˆj和kˆ按右手定则定义了笛卡尔坐标系。如图1-8所示坐标轴确定的坐标系为右手坐标系。图中iˆ、ˆj和kˆ分别为在x、y和zh轴上长度为1个单位且相互垂直的单位矢量。任意矢量a可以用三个单位矢量来表示：ha=i+aaaˆˆˆj+k(0.1.

6、7)xyzhh量aaiˆˆ、j和akˆ是矢量a的“矢量分量”，而aa,和a是矢量a的“标量分量”。矢xyzxyzh量a的模是h222a==++aaaa(0.1.8)xyz任何矢量都可以表示成为其模与其矢量方向的单位矢量之积来表示。比如，若我们记矢hh量a方向的单位矢量为nˆ，则我们可以把a表示为ahhhaaa==nnˆˆaaa，或者nˆa=h。(0.1.9)a矢量乘法规则及其几何意义矢量乘法包括标量积和矢量积两种。（1）标量积hh矢量a和b的标量积定义为hhab=⋅abcosφ。(0.1.10)hh图1-9(a

7、)两矢量a和b及其夹角φ；(b)一矢量在另一矢量的投影分量由于两矢量间的乘积关系用点表示，标量积也称为点积（dotproduct）或内积（innerhhproduct）。(0.1.10)式是读作“a点乘b”。该式可以改写为hhab⋅=(abacosφ)()=()(bcosφ)，(0.1.11)hhhh式中矢量acosφ是a投影到矢量b方向的分量，bcosφ是矢量b投影到矢量a方向的分量。这意味着标量积是可以交换的。所以我们有hhhhabba⋅=⋅(0.1.12)hh用三维矢量的形式，矢量a和b的标量积可以记为h

8、hab⋅=()aaabbbxyzxyzi+ˆˆˆˆˆˆj+k⋅(i+j+k)。(0.1.13)根据标量积的定义，不难确定单位矢量间的关系：iijjkkˆˆˆˆ⋅=⋅=⋅=ˆˆ1;ijjkikˆˆˆ⋅=⋅=⋅=ˆˆˆ0(0.1.14)即相同单位矢量的标量积为1，不同单位矢量的标量积为0。这个性质可以用一个简洁的关系表示：⎧1,=lkeeˆˆlkl⋅==δk⎨（l,k=1,2,3）(0.1