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1、第13讲数值计算 —微积分张建瓴§13.1数值积分在工程教学和应用中，除了进行数据逼近外，还要求逼近曲线下面的面积，这就是积分问题。一、数值积分方法典型的数值积分方法有：用常数(0阶多项式)近似函数矩形法；用直线(一阶多项式)近似函数曲线的梯形法；用抛物线(二阶多项式)近似函数曲线的Simpson法，以及用一般多项式近似函数的Romberg法等。y=sin(x^3)*sqrt(x)x求y,表13-1列出了函数数值积分的一些命令。表13-1函数数值积分的命令常见的一元数值积分命令MATLAT提供了在有限区
2、间内，数值计算某函数下的面积（积分）的三种函数：trapz，quad和quad8。二、一（元）维数值积分1、trapz函数函数trapz通过计算若干梯形面积的和来近似某函数的积分，这些梯形如图13-1所示，是通过使用函数humps的数据点形成。图13-2较好的梯形逼近曲线下的面积示意图从图中可明显地看出，单个梯形的面积在某一段欠估计了函数真正的面积，而在其它段又过估计了函数的真正面积。如同线性插值，当梯形数目越多时，函数的近似面积越准确。例如，在图13-1中，如果我们大致增加一倍数目的梯形，我们得到如下
3、（如图13-2）所示的更好的近似结果。trapz函数对如上所示的两个曲线，用trapz在区间-1>x=-1:0.17:2;%roughapproximation>>y=humps(x);>>area=trapz(x,y)%calltrapzjustliketheplotcommandarea=25.9174trapz函数的应用>>x=-1:0.07:2;%betterapproximation>>y=humps(x);>>area=trapz(x,y)ar
4、ea=26.6243上述两个结果不同是基于对图形的观察，粗略近似可能低估了实际面积。除非特别精确，没有准则说明哪种近似效果更好。trapz函数的应用MATLAB提供的求积函数命令quad和quad8在使用时，其递推的层次限制在十层以内，达到这个限制则会提示警告信息，并且这两个函数命令都不能解决可积的奇异值问题，例如，求解。quad函数和quad8函数函数quad和quad8完整的调用格式为：（1）q=quad('fun',a,b,tol,trace,pl,p2,…)采用Simpson法计算积分；（2）q
5、=quad8('fun',a,b,tol,trace,p1,p2,…)采用八样条Newton-Cotes公式求数值积分。其中：fun是被积函数，可以是表达式字符串、内联函数、M函数文件名，被积函数的自变量，一般采用字母x；a、b分别是积分的上、下限，都是确定的值；quad和quad8函数调用格式tol是一个二元向量，它的第一个元素用来控制相对误差，第二个元素用来控制绝对误差，缺省时积分的相对精度为0.001；trace如果取非零值时，将以动态图形的形式展现积分的整个过程，若取零值，则不画图，其缺省值是0
6、；pl和p2是向被积函数传递的参数。在上面的调用格式中，前三个输入参数是调用时必须的，而后面的输入参数可缺省。quad和quad8的参数MATLAB的函数quad和quad8是基于数学上的正方形概念来计算函数的面积。为获得更准确的结果，两个函数在所需的区间都要计算被积函数。与简单的梯形比较，这两个函数进行更高阶的近似，而且quad8比quad更精确。这两个函数的调用方法与fzero相同，即>>area=quad(‘humps‘,-1,2)%findareabetween-1and2area=26.345
7、0quad和quad8函数的调用>>area=quad8(‘humps‘,-1,2)area=26.3450注意：这两个函数返回完全相同的估计面积，而且这个估计值在两个trapz面积的估计值之间。quad和quad8函数的调用求函数的数值积分（1）建立函数funqfunctiony=funq(x)y=x.^3+x.^2+2;（2）对被积函数funq进行数值积分q=quad('funq',-1,1,le-4)％使用quad命令求数值积分q=4.6667[例13-1]example13_1.mq8=quad
8、8('funq',-1,1,le-4,1)％用quad8命令求数值积分q8=4.6667程序的运行结果显示出积分的过程如图13-3所示。[例13-1]一元函数积分中存在的问题，同样存在于多重积分中。1、积分限为常数的二重积分多重积分使用函数dblquad，其完整的调用格式为：result=dblquad('fun',inmin,inmax,outmin,outmax,tol,method)其中：输入参数fun是被积函数，可以直接用字符串内联
