高中立体几何证明平行的专题

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1、立体几何——平行的证明【例1】如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，点E、F分别为棱AB、PD的中点．求证：AF∥平面PCE；（第1题图）分析：取PC的中点G，连EG.，FG，则易证AEGF是平行四边形【例2】如图，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1＋，过A作AE⊥CD，垂足为E，G、F分别为AD、CE的中点，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC。（Ⅰ）求证：BC⊥面CDE；（Ⅱ）求证：FG∥面BCD；分析：取DB的中点H，连GH,HC则易证FGHC是

2、平行四边形【例3】已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，D,E,F分别为AA1,CC1,AB的中点，M为BE的中点,AC⊥BE.求证：（Ⅰ）C1D⊥BC；（Ⅱ）C1D∥平面B1FM.分析：连EA，易证C1EAD是平行四边形，于是MF//EA5【例4】如图所示,四棱锥PABCD底面是直角梯形,CD=2AB,E为PC的中点,证明:;分析:：取PD的中点F，连EF,AF则易证ABEF是平行四边形(2)利用三角形中位线的性质ABCDEFGM【例5】如图，已知、、、分别是四面体的棱、、、的中点，求证：∥平面。分析

3、：连MD交GF于H，易证EH是△AMD的中位线【例6】如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，E是PC的中点。求证：PA∥平面BDE【例7】如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，D为AC的中点.求证：AB1//面BDC1；分析：连B1C交BC1于点E，易证ED是△B1AC的中位线5【例8】如图，平面平面，四边形与都是直角梯形，，，分别为的中点（Ⅰ）证明：四边形是平行四边形；（Ⅱ）四点是否共面？为什么？（.3）利用平行四边形的性质【例9】正方体ABCD—A1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，M为B

4、B1的中点，求证：D1O//平面A1BC1;分析：连D1B1交A1C1于O1点，易证四边形OBB1O1是平行四边形PEDCBA【例10】在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB=DC，.求证：AE∥平面PBC；分析：取PC的中点F，连EF则易证ABFE是平行四边形【例11】在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ ACB=，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ。若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;5（I）证法一：因为EF//AB，FG//BC，E

5、G//AC，，所以∽由于AB=2EF，因此，BC=2FC，连接AF，由于FG//BC，在中，M是线段AD的中点，则AM//BC，且因此FG//AM且FG=AM，所以四边形AFGM为平行四边形，因此GM//FA。又平面ABFE，平面ABFE，所以GM//平面AB。(4)利用对应线段成比例【例12】如图：S是平行四边形ABCD平面外一点，M、N分别是SA、BD上的点，且=，求证：MN∥平面SDC分析：过M作ME//AD，过N作NF//AD利用相似比易证MNFE是平行四边形AFAEABACADAMANA【例

6、13】如图正方形ABCD与ABEF交于AB，M，N分别为AC和BF上的点且AM=FN求证：MN∥平面BEC分析：过M作MG//AB，过N作NH/AB利用相似比易证MNHG是平行四边形5【例14】如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图中的侧(左)视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，侧(左)视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．(1)求出该几何体的体积；(2)若N是BC的中点，求证：AN∥平面CME；(3)求证：平面BDE⊥平面BCD.【例15】直四棱柱A

7、BCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥DC，AB＝2AD＝2DC＝2，E为BD1的中点，F为AB中点．(1)求证EF∥平面ADD1A1；（2）求几何体DD1AA1EF的体积。5