D15函数的极限、无穷小无穷大、极限运算法则-h

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1、主要讨论:在自变量的某一变化过程中,函数是否与一常数无限接近,即形如：函数的极限第三节第一章本节内容：定义与性质一、自变量趋于有限值时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限自变量变化过程的六种形式:一、自变量趋于有限值时函数的极限1.时函数极限的定义引例.描述性定义（粗略地）：设函数在附近（去心）有定义：当无限接近于时的值无限接近于一个常数，称为当时的极限。定义1.设函数在点的某去心邻域内有定义,当时,有则称常数A为函数当时的极限,或即当时,有若记作极限存在函数局部有界(P36定理2)这表明:几何解释:例1.证明证:故对任意的当时,因此总有例2.证明证:故取当时,必有因此例3.证明证:

2、（分析：欲使取则当时,必有因此只要即）不妨令，要使得只要即可，练习.证明:当证:欲使且而可用因此只要时故取则当时,保证.必有2.保号性定理定理1.若且A>0,证:已知即当时,有当A>0时,取正数则在对应的邻域上(<0)则存在(A<0)(P37定理3)若取则在对应的邻域上若则存在使当时,有推论:(P37定理3´)分析:定理2.若在的某去心邻域内,且则思考:若定理2中的条件改为是否必有不能!证明：略如*定理3.函数极限与数列极限的关系（P37Th4）*定理3.有定义且有说明:此定理常用于判断函数极限不存在.法1找一个数列不存在.法2找两个趋于的不同数列及使例1.证明不存在.证:取两个趋于0的数

3、列及有由定理1知不存在.3.左极限与右极限（单侧极限）P34左极限:当时,有右极限:当时,有定理3.（P34）(P39题*11)注：可以说明某些函数极限不存在，如符号函数例4.给定函数讨论时的极限是否存在.解:利用定理3.因为显然所以不存在.二、自变量趋于无穷大时函数的极限引例.定义2.设函数大于某一正数时有定义,若则称常数时的极限,几何解释:记作直线y=A为曲线的水平渐近线.A为函数二、自变量趋于无穷大时函数的极限例5.证明证:取因此注:就有故欲使只要直线y=A仍是曲线y=f(x)的渐近线.两种特殊情况:当时,有当时,有几何意义:例如，都有水平渐近线都有水平渐近线又如，内容小结1.函数极

4、限的或定义及应用2.函数极限的性质:保号性定理与左右极限等价定理思考题1.若极限存在,2.设函数且存在,则例3作业P371；2;4;Th1Th3Th2是否一定有？第一章二、无穷大三、无穷小与无穷大的关系一、无穷小第四节无穷小与无穷大当一、无穷小定义1.若时,函数则称函数例如:函数当时为无穷小;函数时为无穷小;函数当为时的无穷小.时为无穷小.注：除0以外任何很小的常数都不是无穷小!其中为时的无穷小量.定理1.(无穷小与函数极限的关系)证:当时,有对自变量的其他变化过程类似可证.二、无穷大定义2.若任给M>0,一切满足的x,总有称函数当时为无穷大。，使对①类似可定义(正数X),总存在注意:1

5、.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.2.函数为无穷大,必定无界.但反之不真!（P42.Ex6）例如,函数但不是无穷大!例.证明证:略。见P40若则直线为曲线的铅直渐近线.铅直渐近线说明:三、无穷小与无穷大的关系若为无穷大,为无穷小;若为无穷小,且则为无穷大.则(自证)据此定理,关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.定理2.在自变量的同一变化过程中,说明:内容小结1.无穷小与无穷大的定义2.无穷小与函数极限的关系Th13.无穷小与无穷大的关系Th2练习P42ex1,5P42题*3提示:作业P424(1);8第一章二、极限的四则运算法则三、复合函数的极限运算法则一、无穷小运算法则第

6、五节极限运算法则时,有一、无穷小运算法则定理1.证:由定义得设则当时,有当时,有取则当因此这说明当时,为无穷小量.例如，(P56题4(2)；P49题1（12））见课件注：Th11.有限个无穷小的和还是无穷小.2.无限个无穷小之和不一定是无穷小!定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证:设又设即当时,有.取则当时,就有故即是时的无穷小.定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证:设又设即当时,有.取则当时,就有故即是时的无穷小.定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论1.常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2.有限个无穷小的乘积是无穷小.练习.P31Ex5推论2说明：无限个无穷小的乘积未必

7、是无穷小.例1.求P48.例8解:利用定理2可知说明:y=0是的渐近线.二、极限的四则运算法则则有证:因则有(其中为无穷小)于是由定理1可知也是无穷小,再利用极限与无穷小的关系定理,知定理结论成立.定理3-1.若推论:若且则(P46定理5保号性)利用保号性定理证明.说明:定理3可推广到有限个函数相加、减的情形.提示:令为无穷小定理3-2若且B≠0,则有证:因有其中设由极限与无穷小关系定理,结论可得。因此为无穷小,定理3