D112对坐标曲线积分(VII)

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1、第二节一、对坐标的曲线积分的概念与性质二、对坐标的曲线积分的计算法三、两类曲线积分之间的联系对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念与性质1.引例:变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在xOy平面内从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,求移“大化小”“常代变”“近似和”“取极限”变力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.1)“大化小”.2)“常代变”把L分成n个小弧段,有向小弧段近似代替,则有所做的功为F沿则用有向线段上任取一点在3)“近似和”4)“取极限”(其中为n个小弧段的最大长度)

2、2.定义.设L为xOy平面内从A到B的一条有向光滑弧,若对L的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧L上对坐标的曲线积分,则称此极限为函数或第二类曲线积分.其中,L称为积分弧段或积分曲线.称为被积函数,在L上定义了一个向量函数极限记作若为空间曲线弧,记称为对x的曲线积分;称为对y的曲线积分.若记,对坐标的曲线积分也可写作类似地,3.性质(1)若L可分成k条有向光滑曲线弧(2)用L－表示L的反向弧,则则定积分是第二类曲线积分的特例.说明:对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!二、对坐标

3、的曲线积分的计算法定理:在有向光滑弧L上有定义且L的参数方程为则曲线积分连续,证明:下面先证存在,且有对应参数设分点根据定义由于对应参数因为L为光滑弧,同理可证特别是,如果L的方程为则对空间光滑曲线弧:类似有例1.计算其中L为沿抛物线解法1取x为参数,则解法2取y为参数,则从点的一段.例2.计算其中L为(1)半径为a圆心在原点的上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点A(a,0)沿x轴到点B(–a,0).解:(1)取L的参数方程为(2)取L的方程为则则例3.计算其中L为(1)抛物线(2)抛物线(3)有

4、向折线解:(1)原式(2)原式(3)原式例4.设在力场作用下,质点由沿移动到解:(1)(2)的参数方程为试求力场对质点所作的功.其中为例5.求其中从z轴正向看为顺时针方向.解:取的参数方程三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧L以弧长为参数的参数方程为已知L切向量的方向余弦为则两类曲线积分有如下联系类似地,在空间曲线上的两类曲线积分的联系是令记A在t上的投影为二者夹角为例6.设曲线段L的长度为s,证明续,证:设说明:上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.在L上连例7.将积分化为对弧长的积分

5、,解：其中L沿上半圆周1.定义2.性质(1)L可分成k条有向光滑曲线弧(2)L－表示L的反向弧对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!内容小结3.计算•对有向光滑弧•对有向光滑弧4.两类曲线积分的联系•对空间有向光滑弧:原点O的距离成正比,思考与练习1.设一个质点在处受恒指向原点,沿椭圆此质点由点沿逆时针移动到提示:(解见P196例5)F的大小与M到原F的方向力F的作用,求力F所作的功.思考:若题中F的方向改为与OM垂直且与y轴夹锐角,则2.已知为折线ABCOA(如图),计算提示:作业P1983(2

6、),(4),(6),(7);4;5;7;8备用题1.解:线移动到向坐标原点,其大小与作用点到xOy面的距离成反比.沿直求F所作的功W.已知F的方向指一质点在力场F作用下由点2.设曲线C为曲面与曲面从Ox轴正向看去为逆时针方向,(1)写出曲线C的参数方程;(2)计算曲线积分解:(1)(2)原式=令利用“偶倍奇零”