2对坐标曲线积分.ppt

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1、第二节一、对坐标的曲线积分的概念与性质二、对坐标的曲线积分的计算法三、两类曲线积分之间的联系机动目录上页下页返回结束对坐标的曲线积分第十一章一、对坐标的曲线积分的概念与性质1.引例:变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在xoy平面内从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,求移“大化小”“常代变”“近似和”“取极限”变力沿直线AB所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.机动目录上页下页返回结束定积分能解决变力沿直线所作的功1)“大化小”.2)“常代变”把L分成n个小弧段,有向小弧段近似代替,则有所做的功为F沿则用有向线段上任取一点在机动目录上页下页返回结束3)“近似和

2、”4)“取极限”(其中为n个小弧段的最大长度)机动目录上页下页返回结束2.定义.设L为xoy平面内从A到B的一条有向光滑弧,若对L的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧L上对坐标的曲线积分,则称此极限为函数或第二类曲线积分.其中,L称为积分弧段或积分曲线.称为被积函数,在L上定义了一个向量函数极限记作机动目录上页下页返回结束若为空间曲线弧,记称为对坐标x的曲线积分;称为对坐标y的曲线积分.若记,对坐标的曲线积分也可写作类似地,机动目录上页下页返回结束3.性质(1)若L可分成k条有向光滑曲线弧(2)用L－表示L的反向弧,则则定积分是第二类曲线积分的

3、特例.说明:对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!机动目录上页下页返回结束(3)对封闭曲线，正向规定如下：沿曲线行走，区域总在其左边。二、对坐标的曲线积分的计算法证明:下面先证定理:在有向光滑弧L上有定义且L的参数方程为则曲线积分连续,存在,且有机动目录上页下页返回结束对应参数设分点根据定义由于对应参数因为L为光滑弧,同理可证机动目录上页下页返回结束证毕特别是,如果L的方程为则对空间光滑曲线弧:类似有定理目录上页下页返回结束对应起点与终点例1.计算其中L为沿抛物线解法1取x为参数,则解法2取y为参数,则从点的一段.机动目录上页下页返回结束例2.计算其中L为(1)

4、半径为a圆心在原点的上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点A(a,0)沿x轴到点B(–a,0).解:(1)取L的参数方程为(2)取L的方程为则则机动目录上页下页返回结束例2表明沿不同路径得出的值并不相同，尽管两个曲线积分的被积函数相同，起点和终点也相同。例3.计算其中L为(1)抛物线(2)抛物线(3)有向折线解:(1)原式(2)原式(3)原式机动目录上页下页返回结束例3表明，沿不同路径的曲线积分的值可以相等，只与起点和终点有关（在一定条件下），例4.设在力场作用下,质点由沿移动到解:(1)(2)的参数方程为试求力场对质点所作的功.其中为机动目录上页下页返回结束

5、例5.求其中从z轴正向看为顺时针方向.与规定的正向相反。解:取的参数方程机动目录上页下页返回结束三、两类曲线积分之间的联系机动目录上页下页返回结束Δs→dsdxdyxyo在引例:变力沿曲线所作的功的定义中，还可定义为：变力沿直线AB所作的功wW=已知L切向量的方向余弦为：也可从计算的角度得到上述结论。即两类曲线积分有如下联系：设有向光滑弧L以弧长为参数的参数方程为同样，对弧长的曲线积分：对坐标的曲线积分：可见两个曲线积分是相等的差别：对坐标的曲线积分，与积分路径有关，其上下限由起点和终点确定。对弧长的曲线积分与积分路径无关，化为定积分，上限大于下限。联系：对两类曲

6、线积分：类似地,在空间曲线上的两类曲线积分的联系是令记A在t上的投影为机动目录上页下页返回结束二者夹角为例6.设曲线段L的长度为s,证明续,证:设说明:上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.在L上连机动目录上页下页返回结束例7.将积分化为对弧长的积分,解：其中L沿上半圆周机动目录上页下页返回结束1.定义2.性质(1)L可分成k条有向光滑曲线弧(2)L－表示L的反向弧对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!内容小结机动目录上页下页返回结束3.计算•对有向光滑弧•对有向光滑弧机动目录上页下页返回结束（一：选定参数，二：用曲线方程代，三：计算定积分）4.两类曲线积分的

7、联系•对空间有向光滑弧:机动目录上页下页返回结束1.已知为折线ABCOA(如图),计算提示:机动目录上页下页返回结束思考与练习作业P1413(2),(4),(6),(7);4;5;7;8第三节目录上页下页返回结束备用题1.解:线移动到向坐标原点,其大小与作用点到xoy面的距离成反比.沿直求F所作的功W.已知F的方向指一质点在力场F作用下由点机动目录上页下页返回结束2.设曲线C为曲面与曲面从ox轴正向看去为逆时针方向,(1)写出曲线C的参数方程;(2)计算曲线积分解:(1)机动目录上页下页返回结束(2)原式=令利用“偶倍奇零”机动目录上页下页返回结束