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1、第二节一、对坐标的曲线积分的概念与性质二、对坐标的曲线积分的计算法三、两类曲线积分之间的联系机动目录上页下页返回结束对坐标的曲线积分第十章一、对坐标的曲线积分的概念与性质（一）定向曲线曲线上动点的移动通常有两种，如果规定一种走向为“正向”，那么另一种反向移动称为“负向”．这种规定了方向的曲线（即规定了正负向的曲线）称为定向曲线．１定向曲线的定义例规定曲线L沿A移动到B为正向，则L是定向曲线，记，则负向记为注：确定定向曲线只需找到始点和终点２定向曲线的表示注：非定向曲线参数表示为这里一定有而定向曲线表示当从连续变到时，描出由点A移动到点B的定向曲线L．显然都可能３定向曲线
2、的切向量光滑曲线上每一点都有切向量，而且都有两个方向，对定向曲线的切向量也要定向，要求切向量的的方向总与曲线的走向（曲线的方向）相一致．若曲线为当则切向量为当则切向量为（二）对坐标的曲线积分的概念设一质点受如下变力作用在XOY平面内从点A沿光滑曲线弧L移动常力沿直线所作的功到点B,求移动过程中变力所作的功W.机动目录上页下页返回结束1引例:变力沿曲线所作的功.(1)“大化小”.(2)“常代变”把L分成n个小弧段,有向小弧段近似代替,则有所做的功为F沿则用有向线段上任取一点在机动目录上页下页返回结束(3)“近似和”(4)“取极限”其中为n个小弧段的最大长度机动目录上页下
3、页返回结束2.定义.设L为XOY平面内从A到B的一条有向曲线,在L上定义了一个向量函数机动目录上页下页返回结束在L上沿的L方向任意插入一点列把L分成n个有向小弧段记点为有向弧段上任意一点,若极限机动目录上页下页返回结束记作存在,在有向曲线弧L上对坐标的曲线积分,则称此极限为向量函数或第二类曲线积分.其中L称为积分弧段称为被积函数,或积分曲线.称为对x的曲线积分;称为对y的曲线积分.(2)(1)由定义知物理意义：沿定向曲线L的始点移动到终点所做的功为方向为x-轴正向的力沿定向曲线L的始点移动到终点所做的功力注:物理意义：为方向为y-轴正向的力沿定向曲线L的始点移动到终点所
4、做的功物理意义：故由第二类曲线积分的物理意义也得(3)中是有向弧在x-轴上的投影;是有向弧在y-轴上的投影而在对弧长的曲线积分中乘的是弧长故(A)(图1)可正,可负(图2).(图2)图3中(图3)(B)定积分是第二类曲线积分的特例.(C)对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!若为空间有向曲线弧,2*.定义机动目录上页下页返回结束向量函数定义在有向曲线弧上.若极限存在.在有向曲线弧上对则称此极限为函数或第二类曲线积分.坐标的曲线积分,记作（三）性质(2)若L可分成k条有向光滑曲线弧(3)用L－表示L的反向弧,则则机动目录上页下页返回结束(1)线性性质二、对坐标的曲
5、线积分的计算法定理:在有向光滑弧L上有定义且L的参数方程为则曲线积分连续,存在,且有机动目录上页下页返回结束注：把对坐标的曲线积分转化为定积分时定积分的下限一定是始点对应的参数，上限一定是终点对应的参数，而不管上限是否大于下限．这与对弧长的曲线积分不同对应参数设分点根据定义由于对应参数同理可证机动目录上页下页返回结束证明:下面先证如果L的方程为则对空间光滑曲线弧:类似有定理目录上页下页返回结束例1.计算其中L为沿抛物线解法一取x为参数,则从点的一段.例1.计算其中L为沿抛物线解法二取y为参数,则从点的一段.注：由该题可以知道对坐标的曲线积分没有对称性例2.计算其中L为
6、(1)半径为a圆心在原点的上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点A(a,0)沿x轴到点B(–a,0).解:(1)取L的参数方程为(2)取L的方程为则则机动目录上页下页返回结束例3.计算其中L为(1)抛物线(2)抛物线(3)有向折线解:(1)原式(2)原式(3)原式机动目录上页下页返回结束例4.作用,解:机动目录上页下页返回结束设质点处受力的大小与M点对原点的距离成正比，方向指向原点，求质点由沿椭圆逆时针移动到求力做的功W由题意知则其中例５.求其中从z轴正向看为顺时针方向.解:取的参数方程机动目录上页下页返回结束例６.设在力场作用下,质点由沿移动到解:(1)(2)的
7、参数方程为试求力场对质点所作的功.其中为机动目录上页下页返回结束三、两类曲线积分之间的联系机动目录上页下页返回结束设有向光滑弧L以弧长为参数的参数方程为则有向光滑弧L切向量的方向余弦为由计算公式有机动目录上页下页返回结束其中是有向弧L在(1)若记则两类曲线积分的联系切向量的方向余弦注：是有向弧L在处单位切向量.在有向曲线弧L上对坐标的曲线积分故向量函数若记则有例：设定向曲线L参数方程为方向余弦为若切向量为切向量为若，则(3)要注意是定向曲线的切向量必须与曲线的方向一致．，则，则其中(2)将第二型转化为第一型曲线积分关键是求定向曲线的切向
