D112对坐标曲线积分(III)

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1、第十一章第二节对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念与性质二、对坐标的曲线积分的计算法三、两类曲线积分之间的联系目录上页下页返回结束一、对坐标的曲线积分的概念与性质1.引例:变力沿曲线所作的功.yBL设一质点受如下变力作用AF(x,y)(P(x,y),Q(x,y))Ox在xOy平面内从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,求移动过程中变力所作的功W.解决办法:变力沿直线所作的功“大化小”FWFABcos“常代变”AFAB“近似和”B“取极限”目录上页下页返回结束1)“大化小”.把L分成n个小弧段,F沿Mk1MkyF(k,k)所做的功为Wk,则BnLMykkW

2、WkMxkk1k1A2)“常代变”Ox有向小弧段Mk1Mk用有向线段Mk1Mk(xk,yk)近似代替,在MM上任取一点(k,k),则有k1kWF(,)MMkkkk1kP(,)ΔxQ(,)Δykkkkkk目录上页下页返回结束3)“近似和”nWP(k,k)xkQ(ξk,k)ykk14)“取极限”nWlimP(ξk,ηk)ΔxkQ(ξk,ηk)Δyk0k1(其中为n个小弧段的yF(k,k)最大长度)BLMykkMxkk1AOx目录上页下页返回结束2.定义.设L为xOy平面内从A到B的一条有向光

3、滑弧,在L上定义了一个向量函数F(x,y)(P(x,y),Q(x,y))若对L的任意分割和在局部弧段上任意取点,极限nlimP(k,k)xkQ(k,k)yk0k1记作P(x,y)dxQ(x,y)dyL都存在,则称此极限为函数F(x,y)在有向曲线弧L上对坐标的曲线积分,或第二类曲线积分.其中,P(x,y),Q(x,y)称为被积函数,L称为积分弧段或积分曲线.目录上页下页返回结束nP(x,y)dxlimP(k,k)xk,L0k1称为对x的曲线积分;nLQ(x,y)dylimQ(k,k)yk,0k1称为对y的曲线积分.

4、若记ds(dx,dy),对坐标的曲线积分也可写作FdsP(x,y)dxQ(x,y)dyLL类似地,若为空间曲线弧,记ds(dx,dy,dz)F(x,y,z)(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))FdsP(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dz目录上页下页返回结束3.性质(1)若L可分成k条有向光滑曲线弧Li(i1,,k),则P(x,y)dxQ(x,y)dyLkP(x,y)dxQ(x,y)dyLii1(2)用L－表示L的反向弧,则LP(x,y)dxQ(x,y)dyP(x,y)dxQ(

5、x,y)dyL说明:•对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!目录上页下页返回结束二、对坐标的曲线积分的计算法思想方法：统一变量化为定积分,积分限由起点到终点。定理:设P(x,y),Q(x,y)在有向光滑弧L上有定义且x(t)连续,L的参数方程为t:,则曲线积分y(t)存在,且有P(x,y)dxQ(x,y)dyLP[(t),(t)](t)Q[(t),(t)](t)dt目录上页下页返回结束特别是,如果L的方程为y(x),x:ab,则P(x,y)dxQ(x,y)dyLbP[x,(x)]Q[x,(x)](x)

6、dxax(t)对空间光滑曲线弧:y(t)t:,类似有z(t)P(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dzP[(t),(t),(t)](t)(t)(t)定理目录上页下页返回结束2从点例1.计算xydx,其中L为沿抛物线yxLA(1,1)到B(1,1)的一段.yB(1,1)解法1取x为参数,则L:AOOByxAO:yx,x:10OxOB:yx,x:01yxxydxxydxxydxA(1,1)LAOOB01134x(x)dxxxdx2x2dx10052解法2取y

7、为参数,则L:xy,y:11122144xydxyy(y)dy21ydyL15目录上页下页返回结束2y例2.计算ydx,其中L为L(1)半径为a圆心在原点的BA上半圆周,方向为逆时针方向;aOax(2)从点A(a,0)沿x轴到点B(–a,0).解:(1)取L的参数方程为xacost,yasint,t:0π则2π2243ydxasint(asint)dtaL03(2)取L的方程为y0,x:aa,则2aydx